Изучение почти любой области техники: электротехники, механики, гидравлики, теплотехники и т. д., всегда можно разделить на две части - анализ и синтез. При анализе имеют дело с нахождением характеристик или свойств какой-то уже существующей системы. Этот процесс иллюстрируется структурной схемой на рис. 1.1 - 1,а. Ее можно прочитать так: Задана система, требуется найти ее свойства . Часто, конечно, система может существовать только как схема, показывающая взаимные связи идеализированных- элементов. В этом случае схема определяет модель системы, а анализ в силу этого определяет свойства данной модели. Если такая система (или модель) описана полностью, то ее свойства, конечно, однозначны. Следовательно, в задаче анализа существует Только одно решение.

При синтезе имеют в качестве исходного желаемый набор свойств, и цель состоит в том, чтобы найти систему в ее фактическом виде или (как это чаще бывает) в виде модели, которая имеет такие свойства. Этот процесс иллюстрируется структурной схемой, на рис. 1.1 - 1,6. Ее можно прочитать так: Задан набор

Система 1

Система!

Синтез

Свойства

Рис. 1.1-/. Структурные схемы: а -анализа; б - синтеза

свойств, найти систему, которая ими обладает . В общем случае, как это и показано на схеме, существует обычно больше, чем одна такая система. Следовательно, в задаче синтеза решение редко бывает единственным. Как следствие этой неединственности, в процессе синтеза требуется конечный этап, а именно: оценка нескольких различных систем, каждая из которых имеет желаемый исходный набор свойств, с целью выделить среди них наилучшую. Прежде чем можно будет сделать это, следует определить, что подразумевается под словом наилучшая. Другая возможность ра-

зобраться в данной ситуации состоит в том, чтооы дополнительно К: исходным заданным свойствам рассмотреть еще одно или несколько свойств, что позволило бы сделать выбор среди полученных систем. Очевидно, что процесс синтеза значительно более сложен, чем процесс анализа!

Цель книги состоит в том, чтобы исследовать синтез особого класса систем, а именно: фильтров для электронных схем. Такие фильтры широко используются в современных системах связи и обработки сигналов. В самом деле, трудно найти даже не очень сложное электронное устройство, которое не содержало бы один или несколько фильтров. В процессе изучения фильтров будем заниматься поиском способов соединения элементов цепи, которые позволили бы реализовать схему, обладающую определенными характеристиками фильтрации. Для достижения этой цели необходимо рассмотреть несколько вопросов. Один из них - такое определение методов выражения или аппроксимации свойств фильтров, которое облегчает их синтез. Этот вопрос составляет содержание задачи аппроксимации. Другой полезный вопрос - развитие методов исследования изменений свойств заданных реализаций фильтров в результате вариации расчетных значений их элементов. Эти вариации могут быть вызваны старением, температурными изменениями, допусками на параметры компонентов и т. д. Это - основной вопрос темы чувствительность, которая дает ценные технические приемы для сравнительной оценки схем фильтров, хотя и различных по форме, но имеющих аналогичные свойства. Еще один круг вопросов, который рассмотрен здесь, - изучение элементов активных цепей. Фильтры, построенные на основе таких элементов, часто имеют существенные преимущества по сравнению с фильтрами на пассивных элементах. В последующих главах эти вопросы, а также ряд других, будут рассмотрены так, чтобы дать читателю исчерпывающую и единообразную трактовку современных методов синтеза активных фильтров.

1.1. Функции цепи

В этом параграфе дадим краткий обзор основных концепций теории цепей. Дополнительные обсуждения этих концепций можно найти в работах, указанных в списке литературы.

Обычными переменными, которые ассоциируются с электронными схемами, являются напряжения и токи, измеренные в различ-иых точках этих схем. Они являются физическими или реально существующими переменными в том смысле, что их можно измерить с помощью измерительных приборов или отобразить на экране осциллографа, а если они достаточно велики, то могут вызвать лоявление осязаемых признаков своего присутствия, таких, напри-i мер, как искра или удар. В подавляющем большинстве случаев использования фильтрации значения этих переменных не постоянны, а изменяются во времени. Следовательно, мы записываем их в форме v{t) н i(t) и относимся к ним как к переменным, опреде-

ленным во временной области. Временное определение характеристик фильтрации представляет собой описание того, как возникает некая реакция (или выходной сигнал), переменной {t), которая может быть напряжением или током, в результате воздействия (или подачи на вход) переменной e{t), которая, в свою очередь, может быть напряжением или током. Определение соотношений между входными и выходными переменными, если они являются функциями времени, является в вычислительном аспекте занятием достаточно утомительным, так как приводит к необхо димости решать интегродифференциальные уравнения и не дает возможности проследить, каким образом различные элементы данной цепи влияют на данное соотношение. Вместо этого для схем с линейными инвариантными во времени элементами обычно используют преобразование Лапласа, которое создает новые (преобразованные) переменные: R{s) -для реакции и E{s) -для воздействия. Эти переменные связаны с r{t) и e{t) следующими преобразованиями:

7?(s) = S;{r(0} = J/-(0e-d;

E(s)X{e{t))=le{t)~tdt, (1)

где S{ } можно прочитать как преобразование Лапласа от . В подынтегральных выражениях, приведенных выше, показатель экспоненты в члене е~** должен быть безразмерен. Поэтому можно

прийти к заключению, что величина s Т~% должна иметь размерность обратного Л времени или частоты. Таким образом, у г говорят, что переменные R{s) и E{s) определены в частотной области, а & называется переменной комплексной Рис. 1.1-2. Схема, функция частоты. Ее значения часто отобража-цепи для которой задана вы- ются на двумерную плоскость коми-re=U?~e,!pt --ной .шстоты. Соотношение между фарадах /<(s) и t{s) в общем случае задается

путем определения функции цепи N{s) как отношения реакции к воздействию для случая, когда все начальные условия цепи нулевые. Следовательно,

N{s)R(s)/E{s). (2)

Для примера рассмотрим цепи на рис. 1.1-2. Если определим переменную реакции как Vzis), а переменную воздействия как ¥1(5), то, используя обычные методы анализа цепей, найдем, что функция цепи

(s) = is)/V (s) = 0,5/(s3 + 2s2 + 2s + 1). (3)

Выражения в частотной области, аналогичные приведенному выше, являются наиболее общими в том смысле, что они приме-