Рис. 6.34. Зависимость Юо от параметров системы: а) -от - при различных г, б)-от г

при различных

(6.10Г) при т==0, 1= 1 (кривая / на рис. 6.35). Как видно из табл. 6.4, годограф, соответствующий второму слагаемому, имеет вид

(6.102)

kQ - kkp, а = аТ. Вводя относительные величины, получим

-/eoa[(l-th) + /th

2п

2й

(6.1020

Если изобразить кривую, соответствующую этому слагаемому (кривая 2 на рис. 6.35), и прибавить ее геометрически

jlmj({j)

0.5 Rem)

Рис. 6.35. Влияние воздействия по гроизводиой на частоту возможных автоколебаний.

к ранее построенному годографу при т = 0 (кривая /), то мы найдем годограф /(й) (кривая 5). Как видно из рис. 6.35, введение производной повышает частоту автоколебаний при Хо > 0. Однако невозможно выбрать такую величину а, чтобы автоколебания отсутствовали.

В рассмотренном случае увеличение частоты возможных автоколебаний было достигнуто введением производной в управляющий сигнал. Применение внутренней обратной связи приводит к тем же результатам. Если хо == О, то этими средствами стабилизации можно добиться устойчивости положения равновесия.

2. Система автоматической стабилизации курса самолета.

Функциональная схема системы изображена на рис. 2.12. Рассмотрим тот случай, когда управляющий сигнал зависит от отклонения самолета от курса и первых двух производных этого отклонения. Передаточная функция линейной части системы, как показано в § 2.5, равна

Ir r, = Р(Р> = + 1Р + гР0

Р' Qip) ip + М) {ГмР + I) Р

Выясним качественно картину зависимости частоты возможных автоколебаний от параметров системы в предположении, что зона нечувствительности релейного элемента равна нулю.

Полюсы передаточной функции равны

Ро = 0 (/-0 = 3), р, = -P2 = J , Вычисляем по формулам (6.44) при Го = 3 коэффициенты

. Р (0) k Oi Qj (0) М

О' dp \ Q, (р) jpo - л .

и по формулам (6.39) и (6.45) коэффициенты с', Сю и Cgo:

с'= lim рГ(р) = 0,

. Р(р.)

1 - Mui + MUi

20 =

Q {pi)Pi

Q iPi) Рг

(l-MT)M

1 - мг

и, подставляя их в формулу (6.43), получим выражение годографа рассматриваемой релейной системы в виде

/(co) = -fto{i

М 2<а

1 - Mai + Mui пМ

+ -т^ш:-

1 - УИа, + М'-а^ яА'1 Т--г,-г;г-г-Г75-th

(1 -МГ) 2(0

Ма, - 1 - МТ

Tl-ajl + a,T

2 м

thJt- (6-103)

(1~МТ)М^ 2(0 l-MT-m 2(оГ ,

где ko==kpkj,.

Найдем поведение годографа при больших и малых значениях частоты to. Это можно сделать, воспользовавшись предельными выражениями (6.46), (6.47), либо непосредственно .(6.103). При больших значениях со

/ (со) - fto { 1 + i [1 (1 + MTJ }. (6.104)

При малых значениях ш

М 2(й2

2<й

}. (6.105)

Замечая, что в выражение (6.103) входят монотонные функции, легко по предельным выражениям (6.104) и (6.105) наметить качественный вид годографа. Действительные части годографа /((о) всегда отрицательны. Что же касается мнимой части, то знак ее может изменяться.

Обозначим

При a,=aip и ai = a\

(6.106)

Рис. 6.36. Разбиение плоскости пара- аЯ ЧаСТЬ ГОДОГрафа /(сй) обра-метров (а„ Ог) иа области. ЩаеТСЯ В НуЛЬ. ЗаВИСЙМОСТИ

(6.106) на плоскости (di, аг) (рис. 6.36) соответствуют прямым, которые разбивают всю плоскость на четыре области. В области /

.rp> I> ;rp

и годограф /(со) имеет вид, качественно изображенный на рис. 6.37, а. В области 2

lrp< l< lrp

и годограф /((о) будет иметь вид рис. 6.37,6. В области 5

1гр< Р 1гр< Р

и годограф /(ш) будет иметь вид рис. 6.37,6. Наконец, в области 4

1гр> 1

> а.,

и годограф /((о) будет иметь вид рис. 6.37,г. Предположим вначале, что хо = 0.

Тогда области / и 2, как видно из рис. 6.37, а, б, будут соответствовать отсутствию автоколебаний.

Как было показано ранее (§ 4.8) и как это следует из поведения /((о) на высоких частотах (рис. 6.37), области 1 н 4

(рис 6.37, а, г) соответствуют устойчивому положению равновесия, а области 2 я 3 (рис. 6.37. б, в) - неустойчивому положению равновесия.

Таким образом, можно заключить, что область / соответствует области устойчивости рассматриваемой системы, а область 2 - области неустойчивости. Что же касается областей 3

Рис. 6.37. Качественный вид годографов ] (ш).

И 4, ТО ОНИ соответствуют наличию автоколебаний. Далее, в § 10.7 будет показано, что область 3 соответствует устойчивым автоколебаниям, а область 4 - неустойчивым автоколебаниям.

Отметим, что коэффициент усиления fto = kk л не влияет на устойчивость системы и возможную частоту автоколебаний (ио = 0). Области 1 и 2 соответствуют устойчивости или неустойчивости положения равновесия при любом значении ко.

Рассмотрим частные случаи. Пусть электромеханическая постоянная двигателя равна нулю, Гм = 0. Тогда из (6.106) следует

2 = 0. 1гр=Ж'

т. е. прямая airp сливается с осью ai. В этом случае остаются лишь две области, 1 и 4 (рис. 6.38).

Область / (Ма,> 1) соответствует устойчивости системы.

Область 4 {Mai < 1) соответствует устойчивости положения равновесия и неустойчивым автоколебаниям.

При Гм = О величина кг не влияет на область устойчивости. Величина ai > О существенна для стабилизации системы.

Положим теперь, что Гм > О, а 2 = 0. Тогда из (6.106) получим

1гр=о. ;rp==ir+M.

т. е. прямая airp сливается с осью az- В этом случае ось ординат разбивается на две области, 2 и 3. Область 2 (Mai <

< 1 + ГмМ) соответствует неустойчивости системы; область 3 (Mai > 1 + -\- ГмМ) - неустойчивому положению равновесия и устойчивым автоколебаниям.

Таким образом, введение в закон управления второй производной необходимо для стабилизации системы при наличии постоянной времени Гм дви-

Рнс. 6.38. Разбиение плоскости ото па параметров (а, аг) на области гзтеля.

при 7 =о. Предположим, наконец, что ai = 0.

В этом случае мы всегда будем находиться в области 4, т. е. в системе будут неустойчивые автоколебания.

Таким образом, введение в закон управления первой производной также необходимо для стабилизации системы, но, в отличие от второй производной, не только при Гм > О, но и при Гм = 0.

Интересно отметить, что области устойчивости и неустойчивости автомата курса с сервомотором постоянной скорости совпадают с областями устойчивости и неустойчивости автомата курса, в котором релейный элемент заменен линейным усилителем с коэффициентом усиления ftp.

В этом нетрудно убедиться, например, рассматривая поведение частотной характеристики линейной части системы

157 / йл( +cti/ro-f аг(/ю)) > 0-co-fM)(r ;co-f 1) 040)2

Качественный вид этой частотной характеристики при значениях ai и аг, находящихся в областях 1, 2, 3 и 4, изображен на рис. 6.39. Стрелки указывают направление возрастания частоты (0. Областям 1 и 2 соответствуют частотные характеристики, не пересекающие действительную ось. Одна из них (рис. 6.39, а) соответствует устойчивой, вторая (рис. 6.39,6) - неустойчивой линейной системе.

Таким образом, для линейного автомата курса области 1 и 2 соответствуют устойчивости и неустойчивости при любом k. Области 3 к 4, как это видно из рис. 6.39, в и г, соответствуют устойчивости при kii<k*n и > k]i соответственно *).

Рассмотрим теперь влияние сухого трения в управляющем реле автопилота. При наличии трения в реле характеристика его будет иметь вид 2 табл. 5.1. Для исследования влияния трения

Рис. 6.39. Качественный вид частотных характерис1ик W {/<в) .чинеЯпоЯ части.

на частоту возможных автоколебаний проведем на плоскости годографа /(ш) прямую -ио (рис. 6.40). Из рассмотрения взаимного расположения годографа и прямой мы приходим к следующим выводам.

Область /, соответствовавшая ранее устойчивости системы, теперь соответствует автоколебаниям с частотой соо (рис. 6.40,а).

Область 2, соответствовавшая ранее неустойчивости системы, и теперь соответствует неустойчивости (рис. 6.40,6).

Область 5, ранее соответствовавшая автоколебаниям частоты СОо, и теперь соответствует автоколебаниям, но с уменьшенной частотой сОр (рис. 6.40, в).

Наконец, область 4, ранее соответствовавшая автоколебаниям частоты СОо, теперь соответствует автоколебаниям частот

*) Этот результат впервые был получен П. \S. Бромбергом [2].

©о и а при малых Ко (пунктир на рис. 6.40, г) и неустойчивости системы при больших хо.

Таким образом, для областей 2 и 3 картина качественно не меняется, тогда как для областей 1 и 4 наличие сухого трения в управляюшем реле качественно изменяет картину.

Рис. 6.40. К исследованию влияния сухого трепня в управляюще.\1 реле.

Здесь сухое трение порождает автоколебания или приводит к неустойчивости (при больших хо), причем устранение этих автоколебаний при Хо > О невозможно ни при каком подборе параметров автомата курса.

При наличии в схеме автомата курса внутренней жесткой связи, как было показано в § 2.5, передаточная функция совпадает по внешней форме с передаточной функцией линейной части только что рассмотренной схемы.

Однако теперь нужно заменить а\ и аг иа аю и агс, где аю и агс - величины, зависящие от параметров самолета и элемента обратной связи, а именно.

ttlc = 1 -Ь

М

гс = 2 -Ь

Поэтому можно воспользоваться полученными результатами, придавая в них аю и агс значения, определяемые этими соотношениями. Таким образом, введение внутренней жесткой связи

позволяет стабилизировать систему при ио = О либо повысить частоту возможных автоколебаний при ко > 0.

Следует, однако, отметить, что введение внутренней жесткой связи сопряжено с внесением в систему Статической ошибки при действии постоянного возмушения на самолет, тогда как введение производных свободно от этого.

Придавая параметрам числовые значения, можно, как это было сделано в других случаях, определить частоту возможных автоколебаний и изменение ее при изменении значений тех или иных параметров.

Мы, однако, ограничимся качественным рассмотрением.

3. Система автоматического регулирования температуры. Функциональная схема системы изображена на рис. 2.10.

Рассматривая печь как элемент с распределенными постоянными и полагая пока, что внутренняя обратная связь отсутствует, запишем передаточную функцию линейной части системы в виде

где --передаточная функция исполнительного устройства,

к-а - коэффициент усиления измерительного устройства. Сначала предположим, что характеристика релейного элемента имеет гистерезис, а зона нечувствительности отсутствует.

Частотная характеристика линейной части системы равна

Г(/со) = е- , или, в относительных величинах,

где

со = (й7а, к = к„-.

Частотная характеристика W{ia) была построена в § 4.8 и изображена на рис. 4.25. По данным табл. 4.1, приведенной в § 4.8, построим действительную и мнимую части частотной характеристики. Они изображены в виде кривых / на рис. 6.41, а, б. На этих же графиках изображены 17(Зш), U(5a)

(кривые II, III на рис. 6.41, а и --У(Зсо), -1/(50)) (кривые ,

на рис. 6.41,6).

Замечая, что с'=ш(0) = 0 и суммируя для каждого зна-

чения со ординаты, найдем в масштабе -ftp действительную и

мнимую части годог рис. 6.41, а и б).

а релейной системы (кривые IV на

f2 П й

-0,101

Рис. 6.41. Построение действительной Re / (ш) и мнимой Im / (ш) частей годографа / (ш) по действительной U (ш) (а) и мнимой V (<о) (б) частям частотной характеристики W {/(в)

линейной части.

Годограф / ( )) при ko - kpk = 1 приведен на рис. 6.42. Проводя прямую - , находим относительную частоту возможных автоколебаний (oq. Эту же относительную частоту можио опре-