Абстрактное отображение фигур пространства реализуется на чертеже в виде фигур, обеспечивающих наглядность отображения.

Абстрактные соотношения элементов пространства реализуются в конкретные чертежные операции и соотношения вычерченных в полях проекций представителей абстрактных элементов (точек и прямых). В силу сказанного возможности графической модели по исследованию свойств пространства являются ограниченными (как и возможности всякой физической модели). В то же время построения этой модели дают наглядные отображения абстрактных фигур пространства. Модель позволяет строить изображения любых мыслимых в пространстве фигур, произвольным образом расположенных. В силу этого она является весьма удобным инструментом геометрического конструирования как одного из элементов системы машинного конструирования. Более подробно графическая модель изучается в начертательной геометрии. Правила построения с ее помощью технических чертежей регулируются ЕСКД.

Координатная модель пространства. Координатная модель евклидова пространства состоит из различных троек действительных чисел. Тройки чисел берутся упорядоченными: каждой тройке чисел соответствует единственная точка. Множества точек, выде-.ченные по определенному закону, описываются уравнениями с тремя переменными величинами х, у, z - координатами точек множества. Каждой точке поверхности соответствует одно уравнение, а каждой линии - пара уравнений. Помимо текущих координат в уравнения образов входят еще некоторые постоянные величины - параметры. Различным значениям параметров соответствуют-образы пространства различного положения и формы. Посредником между точками и тройками чисел служат некоторые постоянные элементы - системы координат. Правила выбора системы координат определенным образом относят точки пространства к исходной системе координат и устанавливают способы упорядочения, чисел в координаты точек.

Управление координатной моделью включает разработку алгоритмов перехода от одной системы координат к другой. Координатная модель пространства - это абстрактная модель. Она не утверждает никаких наглядных связей между элементами пространства и объектами модели. Координаты и уравнения отображают взаимосвязи точек и фигур пространства: точка принадлежит данному множеству (данной фигуре),- если ее координаты удовлетворяют уравнению этой фигуры. Последнее свойство есть инвариантное свойство координатной модели. Более подробно-координатные модели изучаются в аналитической геометрии.

Графоаналитическая модель пространства (координатный чертеж Монжа). Выделим в пространстве прямоугольную декартову систему координат х, у, z с началом в точке О. Плоскости ху и xz системы координат примем за плоскости проекций. Теперь каждой точке М пространства можем соотнести, с одной стороны, две ее прямоугольные проекции п на картинные плоскости ху и xz, а с другой стороны, - три числа: х = ОМ, у = ОМу и

z = ОМг, Т. е. три ее координаты (здесь Мд,., ЬЛу, - прямО угольные проекции точки М на оси координат). Это означает, что мы получаем возможность одновременно рассмотреть две модели пространства: графическую в виде чертежа Монжа плоских полей ху к XZW координатную в виде троек действительных чийел, соответствующих длинам координатных отрезков на осях координат. Эти две модели можно рассматривать в соподчинении. Переход от точек пространства М, ... к их координатам осуществляется через проецирование точек М ... на картинные плоскости хуихгв точки Ml и Ма- От полученных точек и Ма осуществляем переход к их проекциям М , M/ H MjHa оси координат х, у, z, а измеряя длины отрезков ОМ,, ОМ 0М„ получаем координаты х, у, z точки М.

Любому множеству Ф точек М ... пространства, выделенному с помощью какого-нибудь закона, соответствуют, с одной стороны, множества Фх и Фа проекций М^, ... и Ма, ... точек М, .... а, с другой стороны, уравнение Ф (х, у, z) = О фигуры Ф относительно координат X, у, г точек М, ... . Так, плоскости а, определяемой точками М {xi, У1, г^, N (Ха, Уа. а) И L (Ха, Уз, 2s) соответствуют два поля проекций aj и а^, находящихся в родстве, и уравнение вида

X - Xi у~У1 Z~Zi Х^ - Xi I/a - У1 Za - Zi Xs - Xi Ув Ух Zs - Zi

= 0.

Отрезку прямой m, определяемому точками М {xi, У1, и {Xi, t/a, 2a), соответствуют две проекции и /Па и уравнение вида

X-Xi У-У1 Z-Zi Xz-Xi

у г -Ух

22 - Zi

Таким образом, комбинированная графоаналитическая модель евклидова пространства строится в соответствии со следующими правилами.

1. Точки М, ... пространства относят к некоторой декартовой прямоугольной системе координат и задают тройками упорядоченных чисел - координатами М {х, у, г), ... .

2. Два поля проекций координатных плоскостей совмещают вместе с их координатными осями ху и xz в чертеж Монжа.

3. Точки пространства М, ... относят к чертежу Монжа полей проекций ху и XZ в виде их упорядоченных проекций Mi, ... и Ма ... .

4. Если точка М имеет координаты х, у, z, то ее проекции имеют координаты Ml (х, у) к М^ (х, z) независимо от способа совмещения полей ху и XZ. Способ совмещения проекционных полей влияет только на положение линии связи М^ М^, М^, где М^ - точка пересечения линии связи с осью проекций.

5. Наличие координат точки обеспечивает построение ее проекций. Наличие проекций точек обеспечивает выделение координат точки.

6. Фигуры Ф пространства задаются как множества точек и моделируются их проекциямиФ^ иФа и уравнениямиФ (х, у, г) = = 0.

7. На проекционном поле координированного чертежа Монжа могут решаться любые геометрические задачи на построения. При этом в равной мере могут применяться как графические, так и вычислительные методы.

8. Для каждой графической операции устанавливается ее вычислительный эквивалент и, наоборот, с вычислительными операциями соотносятся графические операции. Это позволяет считать модель формальной.

9. За основные инструменты графических операций принимаются циркуль и безмасштабная линейка.

В такой модели координаты точки пространства определяются как координаты ее проекций и проекции точек задаются ее пространственными координатами.

Сформулированные правила определяют основы управления одной моделью с помощью другой. Управление проекциями точек через их координаты развито в модели в управление проекциями фигур и графическими операциями с помощью уравнений фигур и вычислительных эквивалентов операций.

Наиболее употребительный способ совмещения полей проекций в чертеж Монжа заключается во вращении плоскости xz вокруг оси X до совпадения с плоскостью ху. При этом вращении положительное направление оси z совмещается с отрицательным направлением оси у, а ось X получается двойной осью. Точки М^, М^., располагаются на одной линии связи, перпендикулярной оси х, точка рассматривается как двойная точка. Линия связи MiMjM является элементом, упорядочивающим задание проекций точки пространства.

При построении многих чертежей поля проекций накладываются одно на другое так, чтобы оси х были параллельными, а ось Z проходила по оси у без совпадения начал этих осей. Линия проекционной связи проекций и coctqht из двух лучей М^М-у и М^М^- Во всех построениях точки Мх осей х отождествляются. Лучи MxMi и М^М^ лежат на одной прямой.

Возможно и такое совмещение проекционных полей ху и xz, при котором оси располагаются совершенно произвольно, И в этом случае точки отождествляются в ходе решения задач. Линия проекционной связи состоит из двух лучей М^М^ и М^М^ различных направлений, параллельных направлениям осей у и z. Способ совмещения полей xyvixzB один чертеж не оказывает никакого влияния ни на форму проекций, ни на содержание алгоритмов решения задач по чертежу.

Как было указано ранее, графическая и координатная модели рассматриваются порознь. То обстоятельство, что любая из них может служить посредником между евклидовым пространством и другой моделью и выступать в их общности в качестве управляющей модели, дает возможность объединить их в формальную модель пространства. Первым шагом в этом направлении является разработка соответствующей таблицы сопоставимых операций (табл. 1).

При необходимости таблицу можно расширить, например включить в нее операцию построения точек пересечения прямой с окружностью; пересечения двух окружностей; построение прямой, касательной к окружности и т. д. Помимо операций графического и вы-

Таблица

Таблица основных графических операций на плоскости и их вычислительных эквивалентов

Условная запись операции

Графическое содержание операции

Вычислительный эквивалент

{т)= AU В (М) = АВ (]CD

(m)eA[J m\\CD

im)A\J in±CD

(AB)

Построение прямой т, проходящей через точки А и В

Построение точки М пересечения прямых АВ к CD

Построение точки М прямой АВ, делящей отрезок т. в данном отношении X

Построение прямой т, проходящей через точку А и параллельной прямой CD

Построение прямой т, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой CD

Запоминание на циркуле

ABC)

т=1А, г= ВС]

отрезка А В

Запоминание на транспортире величины угла между векторами АВ к ВС

Построение окружности с центром в точке А и радиусом г= ВС

Составление уравнения прямой Л В по координатам точек А к В Решение системы уравнений прямых АВ к CD с целью определения координаты их точки пересечения ,

Нахождение координаты точки f М по величине X и координатам точек А и В

Составление уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно CD

Составление уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно CD

Нахождение расстояния между точками Л и В по известным их координатам

По значению

cos а = -г=-I \АВ -iBC] нахождение величины

а = arccos t Составление уравнения окружности с центром в точке А и данным радиусом г

числительного характера можно вводить различные логические операции, например присвоение элементу чертежа нового наименования.

2. ПРОЕКЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Задача называется проекционной, если для решения ее требуется осуществление графических операций в обоих полях проекций. Сложность решения проекционных задач определяется количеством осуществляемых для ее решения переходов из одного поля в другое и обратно. Запись решения проекционной задачи осуществляется по следующей схеме.

1. Формулируется условие задачи как для графического, так и для вычислительного решения.

2. В таблицу из трех колонок записывается решение задачи: в первой колонке ставится номер очередной операции; во второй колонке - шифр проекционного поля, в котором осуществляется операция; в третьей - условная запись операции.

3. Составляется вычислительный эквивалент решения задачи. Вычислительный эквивалент решения задачи служит основанием для составления ее машинного решения.

Пример 1. На координированном чертеже Монжа заданы проекции трех точек.

А {Ах, Л а), В {Bi, В2) и С (Ci, Са) и фронтальные проекции точек Е {Е^, F (Fa), определяющих прямую т (т^. Построить горизонтальную проекцию прямой т, зная, что прямая т принадлежит плоскости а [А, В, С\.

Решение:

1- щ {М)= AB\J EF

2 зта (N) = BC\J EF

3 JTa (1) е М и llJt

4 Яа (2)eiVU2±;t Ъ (М)= \\J АВ

6 JTi (iV) = 2 и fiC

7 jTi (m) = М и Л? Вычислительный эквивалент решения

1. По координатам точек Ла, fia. 2. асоставляем уравнения прямых Лаа и EF. Решая системно полученные уравнения, находим координаты точки пересечения прямых Л2В2 и EF.

2. По координатам точек В^ и Cj составляем уравнение прямой ВаСа и, решая его совместно с уравнением прямой Ega. находим координаты точки пересечения прямых ВаСа и EF-

3. По координате хм составляем уравнение линии связи 1.

4. По координате дгдг составляем уравнение линии связи 2.

Б. По координатам точек А^, Вх составляем уравнение прямой А^В^ и, решая его совместно с уравнением линии связи 1, находим координаты точки М- пересечения прямых AiBi и 1.

6. По координатам точек Bj, составляем уравнение прямой В^С^ и, решая его совместно с уравнением линии связи 2, находим координаты точки пересечения прямых А^В^ и 2.

7. По координатам точек Mi и iVj составляем уравнение горизонтальной проекции MiNi прямой т.

Составление алгоритма решения и его вычислительного эквивалента соответствует этапу ручного программирования. Оператр вправе допускать перестановки операции, брать различные их сочетания и, наконец, заменять одни и те же операции различными вычислительными эквивалентами.

Для автоматизации процесса программирования некоторого класса проекционных задач необходимо создать набор решающи; графических операций и .строго канонизировать соответствие между этими операциями и их вычислительными эквивалентами.

Если теперь задать правила составления из исходных операций решений различных задач рассматриваемого класса, то будет осуществлен структурно-лингвистический подход. При этом исходные операции игранзт роль алфавита, а правила - роль порож-. дающей грамматики. Математическое обеспечение принимает вид языка, ориентированного на выбранный класс задач. В дальнейшем образуется математическая модель некоторой системы, в которой управление проводится с помощью специальной управляющей программы.

Каноническая таблица основных операций. Кацоническая таблица основных операций решения проекционных задач составляется следующим обрказом.

1. Выделяется достаточно широкий круг проекционных задач. .

2. Составляются алгоритмы йх решения.

3. Полученные при этом основные операции систематизируются И- анализируются.

4. На основе анализа основных операций составляется каноническая таблица основных операций (алфавит операций).

Приведем один из возможных вариантов такой Гтаблицы. (табл. 2), составленной для автоматического решения позиционных и метрических задач на точку, прямую и плоскость. Сделаем некоторые пояснения, как работать с табл. 2. Использование таблицы не требует от исполнителя построения на чертеже проекций прямых линий, их представителями являются пары точек. Координаты точек пересечения прямых определяются по готовым формулам, и решение этой задачи не требует составления уравнений пересекающихся прямых. Если взятые прямые будут параллельны, то в формулах для определения координат точки пересечения величина А оказывается равной нулю. Если к тому же окажутся равными нулю и Ах и А^, то данные прямые являются совпадающими. В методах решения задач на чертеже Монжа часто используют построение горизонтали и фронтали. В соответствии с табл. 2 применение этих прямых для решения задачи не требует построения их проекций. Достаточно задать на чертеже две точки, определяющие направляющий вектор фронтальной проекции горизонтали, коллинеарный орт-вектору оси х. Практически можно заранее условиться брать этот вектор равным любой наперед заданной величине. То же относится и к заданию горизонтальной проекции фронтали.

Таблица 2

Канонические операции

Шифр операции

УслоЕиая

запись операции

Графическое содержание операции

Координатное решение

(М) = АВ f]CD

Построение точки М пересечения прямых АВ и CD

Находятся координаты х^у^ точки пересечения прямых А {xi. Ух) В {Xi, и С (х^Уз) D (Xiyi)

по формулам х^=

где

y-

Хг-Xi Уг - У, х* - 8 г/4 - У в

- 3

(N) Э MNkAB

Построение точки N, определяющей с данной точкой М направлен-ный отрезок MN, равный kAB

По координатам точек Л УгЬ В (х^у^) и М {Хз, Уз) находятся координаты х^у^ точки N по формулам

Ч = Хз+ k (х^ - Xi);

yt= Уз + k (t/2 - J/l)

(с)еАвэ-

MN АВ

Построение на прямой А В точки С таким образом, чтобы отрезок АС был равен отрезку MN

По координатам точек А {Хх, Ух) и В (х^, г/а) и величине А находятся координаты Хз, Уз точки С по формулам Хз =

. Хх + Кх . 1-1-Я

У1±

3- 1+%

Про'должение табл. 2

Шифр операции

Условная

запись операции

Графическое содержание операции

Координатное решение

(N) ЭММ 1 АВ \J\MN\= k\AB\

Построение точки N, определяющей с точкой М вектор MN А, АВ и \ MN\= k \AB\ Вектор MN может иметь противоположное направление *

По координатам точек А {Xi, У1), В {Xi, 1/2) и М {Хз, Уз) находятся координаты х^у^ точки N по формулам

Xi= Хз + k (у^ - yi)\

У^=Уз-к {х^ - Xi)

или

Xi = Хз-k - У1); У4 = УЗ+ k{Xi - Xj)

Отнесение точки в поле щ и точки в поле щ

По координатам точки (Xv Zi) находятся координаты точки 2.1 {Xi, Уг = -Zi); по координатам точки 1 {х^. Ух) находятся координаты точки Li,2 {Xi, Zi= -У1)

Л

Запоминание на куле отрезка А В

По координатам точек А {xi, уг) и В (х^, у^) находится расстояние

I ЛВ Г по формуле

+ {У2-У1)

Г1Г2 I

Запоминание на транспортире величины угла

между векторами/-1 и гг

По -

11 1-1/-2 1

находится а = arccos t

и

Построение отрезка А В

Вычислительного аналога нет

(т) = ЛВ

Построение прямой т, проходящей через точки Л и В

По координатам точек А, В составляется уравнение прямой Л В

Продолжение табл. 2

В процессе решения задач приходится постоянно заботиться о построении линий связи соответственно проекционных точек чертежа Монжа. Таблица предусматривает решение этой задачи следующим образом. Если через точку требуется построить линию связи, то в том же поле проекций строится точка Мг, определяющая вектор МаМг, параллельный орт-вектору k оси z (операция Т2). После этого точки Мг и Ма с помощью операции Т5 переводятся в точки поля проекций я, в связи с чем им приписываются обозначения Мг,! и Мг,1. Координаты точек Мг,! и Мг,1 получаются из координат точек Мг и Ма с помощью простых формул операции Т5. Теперь мы имеем в поле вторую часть линии связи точек Ма и Mi, заданную точками Мг,! и Мг.х. Пересечение прямых, одна из которых есть линия связи, а другая есть прямая, проекционно соответственная прямой, на которой лежит точка Mg, определяет точку М^. Для построения прямой, перпендикулярной к данной, прибегают к построению вектора, перпендикулярного к направляющему вектору данной прямой. При этом несущественно, какой из двух возможных векторов будет рассматриваться. Для уточнения выбора вектора вводится условие ориентации двух векторов. В программе можно задавать любой из возможных векторов. .

Алгоритмическая запись решения проекционной задачи с помощью табл. 2 осуществляется в пять колонок. Первая колонка содержит номера очередных операций; во второй отмечается наименование поля, в котором осуществляется очередная графическая операция; в третьей записывается шифр очередной операции; уточнение этой операции осуществляется записью конкретных обозначений элементов в. четвертой колонке. Особую роль играет пятая колонка. В этой колонке отмечается форма, в которой осуществляется операция: графическая, вычислительная или графоаналитическая. Пятая колонка определяет вид информации, выводимой из машины.

Выше было отмечено, что графоаналитическая модель евклидова пространства включает в себя и графическую (чертеж Монжа) и аналитическую (координатную) модели пространства вместе с их управляющей системой взаимодействия. Пятая колонка алгоритмической записи решения задачи реализует указанную систему управления.

Пример I. Построить чертеж проекций пирамиды ABCD, если известны координаты ее вершин А (х^, у^, zj, В (х^, Уц, С {Xg, у^, Zg), D {х^, yt, z и проекции перпендикуляра DP, опущенного из точки D на плоскость грани ABC.

Решение.

1. Строим фронталь и горизонталь плоскости ABC, т. е. прямые р (Рх, р^) и h (К, hi).

2. Строим проекции DPi и Dp искомого перпендикуляра, исходя из того, что DjPi 1 hi, а D2P2 1 h

3. Строим точку пересечения прямой DP с плоскостью АБС.

Алгоритмическая запись решения

JTi ТА (А) Граф.

Щ ТА (В) - -

зт, .ТА

С

2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37

щ щ

ЗТ2 щ

щ

щ

Щ

3X2 Щ Щ Щ

12 12

21 21

щ

TALI LI LI LI LI LI ТА ТА ТА ТА LI Li LI LI LI LI T2 TI T2 ТБ T5 TI T2 TI T2 T5 T5 TI

T4 .

(C) n Ф) ri

{AB) n

(AC) Г,

(AD) - n (BQ n (BD) Г] (CD) n

(A) Г]

(B) n

:C) Г1

[D) n

(AB) Г1

(AC) n

(AD) . n (BQ n (BD) ri

(CD) ri

(A) AA=i Анал.

{F) = SC n AA Анал.

(F) 9 FF = / Анал.

F\ := Анал.

Fi := Fi,2 Анал. (F) = Fi,2f 1.2 П ВС Анал.

(Л )Э^ = Анал.

(Я) = АА П ВС Анал.

(Я ) Э ЯЯ = й Анал.

Я2 := Я2,1 Анал.

Щ := Щ 1 Анал. (Я) = ВС П 2.12.1 Анал. (D) Э^р' J. ЛЯ Анал.

DDГ\ АС Анал.

(C) Э GGy= j . Анал. (К') Э = / Анал.

(G) = DD П АВ