Абстрактное отображение фигур пространства реализуется на чертеже в виде фигур, обеспечивающих наглядность отображения.

Абстрактные соотношения элементов пространства реализуются в конкретные чертежные операции и соотношения вычерченных в полях проекций представителей абстрактных элементов (точек и прямых). В силу сказанного возможности графической модели по исследованию свойств пространства являются ограниченными (как и возможности всякой физической модели). В то же время построения этой модели дают наглядные отображения абстрактных фигур пространства. Модель позволяет строить изображения любых мыслимых в пространстве фигур, произвольным образом расположенных. В силу этого она является весьма удобным инструментом геометрического конструирования как одного из элементов системы машинного конструирования. Более подробно графическая модель изучается в начертательной геометрии. Правила построения с ее помощью технических чертежей регулируются ЕСКД.

Координатная модель пространства. Координатная модель евклидова пространства состоит из различных троек действительных чисел. Тройки чисел берутся упорядоченными: каждой тройке чисел соответствует единственная точка. Множества точек, выде-.ченные по определенному закону, описываются уравнениями с тремя переменными величинами х, у, z - координатами точек множества. Каждой точке поверхности соответствует одно уравнение, а каждой линии - пара уравнений. Помимо текущих координат в уравнения образов входят еще некоторые постоянные величины - параметры. Различным значениям параметров соответствуют-образы пространства различного положения и формы. Посредником между точками и тройками чисел служат некоторые постоянные элементы - системы координат. Правила выбора системы координат определенным образом относят точки пространства к исходной системе координат и устанавливают способы упорядочения, чисел в координаты точек.

Управление координатной моделью включает разработку алгоритмов перехода от одной системы координат к другой. Координатная модель пространства - это абстрактная модель. Она не утверждает никаких наглядных связей между элементами пространства и объектами модели. Координаты и уравнения отображают взаимосвязи точек и фигур пространства: точка принадлежит данному множеству (данной фигуре),- если ее координаты удовлетворяют уравнению этой фигуры. Последнее свойство есть инвариантное свойство координатной модели. Более подробно-координатные модели изучаются в аналитической геометрии.

Графоаналитическая модель пространства (координатный чертеж Монжа). Выделим в пространстве прямоугольную декартову систему координат х, у, z с началом в точке О. Плоскости ху и xz системы координат примем за плоскости проекций. Теперь каждой точке М пространства можем соотнести, с одной стороны, две ее прямоугольные проекции п на картинные плоскости ху и xz, а с другой стороны, - три числа: х = ОМ, у = ОМу и

z = ОМг, Т. е. три ее координаты (здесь Мд,., ЬЛу, - прямО угольные проекции точки М на оси координат). Это означает, что мы получаем возможность одновременно рассмотреть две модели пространства: графическую в виде чертежа Монжа плоских полей ху к XZW координатную в виде троек действительных чийел, соответствующих длинам координатных отрезков на осях координат. Эти две модели можно рассматривать в соподчинении. Переход от точек пространства М, ... к их координатам осуществляется через проецирование точек М ... на картинные плоскости хуихгв точки Ml и Ма- От полученных точек и Ма осуществляем переход к их проекциям М , M/ H MjHa оси координат х, у, z, а измеряя длины отрезков ОМ,, ОМ 0М получаем координаты х, у, z точки М.

Любому множеству Ф точек М ... пространства, выделенному с помощью какого-нибудь закона, соответствуют, с одной стороны, множества Фх и Фа проекций М, ... и Ма, ... точек М, .... а, с другой стороны, уравнение Ф (х, у, z) = О фигуры Ф относительно координат X, у, г точек М, ... . Так, плоскости а, определяемой точками М {xi, У1, г, N (Ха, Уа. а) И L (Ха, Уз, 2s) соответствуют два поля проекций aj и а, находящихся в родстве, и уравнение вида

X - Xi у~У1 Z~Zi Х - Xi I/a - У1 Za - Zi Xs - Xi Ув Ух Zs - Zi

= 0.

Отрезку прямой m, определяемому точками М {xi, У1, и {Xi, t/a, 2a), соответствуют две проекции и /Па и уравнение вида

X-Xi У-У1 Z-Zi Xz-Xi

у г -Ух

22 - Zi

Таким образом, комбинированная графоаналитическая модель евклидова пространства строится в соответствии со следующими правилами.

1. Точки М, ... пространства относят к некоторой декартовой прямоугольной системе координат и задают тройками упорядоченных чисел - координатами М {х, у, г), ... .

2. Два поля проекций координатных плоскостей совмещают вместе с их координатными осями ху и xz в чертеж Монжа.

3. Точки пространства М, ... относят к чертежу Монжа полей проекций ху и XZ в виде их упорядоченных проекций Mi, ... и Ма ... .

4. Если точка М имеет координаты х, у, z, то ее проекции имеют координаты Ml (х, у) к М (х, z) независимо от способа совмещения полей ху и XZ. Способ совмещения проекционных полей влияет только на положение линии связи М М, М, где М - точка пересечения линии связи с осью проекций.

5. Наличие координат точки обеспечивает построение ее проекций. Наличие проекций точек обеспечивает выделение координат точки.

6. Фигуры Ф пространства задаются как множества точек и моделируются их проекциямиФ иФа и уравнениямиФ (х, у, г) = = 0.

7. На проекционном поле координированного чертежа Монжа могут решаться любые геометрические задачи на построения. При этом в равной мере могут применяться как графические, так и вычислительные методы.

8. Для каждой графической операции устанавливается ее вычислительный эквивалент и, наоборот, с вычислительными операциями соотносятся графические операции. Это позволяет считать модель формальной.

9. За основные инструменты графических операций принимаются циркуль и безмасштабная линейка.

В такой модели координаты точки пространства определяются как координаты ее проекций и проекции точек задаются ее пространственными координатами.

Сформулированные правила определяют основы управления одной моделью с помощью другой. Управление проекциями точек через их координаты развито в модели в управление проекциями фигур и графическими операциями с помощью уравнений фигур и вычислительных эквивалентов операций.

Наиболее употребительный способ совмещения полей проекций в чертеж Монжа заключается во вращении плоскости xz вокруг оси X до совпадения с плоскостью ху. При этом вращении положительное направление оси z совмещается с отрицательным направлением оси у, а ось X получается двойной осью. Точки М, М., располагаются на одной линии связи, перпендикулярной оси х, точка рассматривается как двойная точка. Линия связи MiMjM является элементом, упорядочивающим задание проекций точки пространства.

При построении многих чертежей поля проекций накладываются одно на другое так, чтобы оси х были параллельными, а ось Z проходила по оси у без совпадения начал этих осей. Линия проекционной связи проекций и coctqht из двух лучей ММ-у и ММ- Во всех построениях точки Мх осей х отождествляются. Лучи MxMi и ММ лежат на одной прямой.

Возможно и такое совмещение проекционных полей ху и xz, при котором оси располагаются совершенно произвольно, И в этом случае точки отождествляются в ходе решения задач. Линия проекционной связи состоит из двух лучей ММ и ММ различных направлений, параллельных направлениям осей у и z. Способ совмещения полей xyvixzB один чертеж не оказывает никакого влияния ни на форму проекций, ни на содержание алгоритмов решения задач по чертежу.