где и

кроме того,

X = Ах + Ви, У = Сх,

ХТ = [xlT х12Т, . . . , XTjT

(2.2-17;

А = diag [рч, pi2, ..., Р? и

P* = diag[;7f pl р/*

/к

Матрица В определяется равенством

В = [г„ Г2, ... , rj.

где

кроме того.

С - [Ci, С2, ..., с„]т

Наконец,

U = \ih,

В этих выражениях

= О, если г:/, и Ьц=1, если г =/,

и

1 = 1.

Опишем еще один метод, называемый методом фазовых переменных, который часто применяется при выводе уравнений состояния в одномерном случае. Применяя преобразование Лапласа, запишем уравнение одномерного объекта управления

=X(s) (2 2-18)

Исключая дроби и изменяя порядок слагаемых, получим sX (S) = /7 (S) - a iS -X (s) - ... - asX (s) - a (s). (2.2-19)

Применяя обратное преобразование, придем к равенству

х^п) = и - a iX( -i) - ... -а,х - аоХ.. (2.2-20) Введем фазовые переменные

х = х„ X = Х2, ... , = д; (2:2-21)

и перепишем выражение (2.2-20) в следующем виде:

X = Х2,

Хп = Л3,

. (2.2-22)

Х„ = - CIqXi - 0-1X2 - ...- Cln~lX -f U-Систему уравнений (2.2-22) можно записать в матричном виде

X = АоХ -f bou.

где

(2.2-23)

Из равенства (2.2-18) следует, что

+ csX{s).

(2.2-24) (2.2-25)

Применяя обратное преобразование и пользуясь равенствами (2.2-21), будем иметь

или где

у = CoXi + С1Х2 -f ... -f V ,+i, У==Сх,

C = [Co, Ci, ... , Cm, 0,.... , 0]

(2.2-26) (2.2-27) (2.2-28)

-вектор-строка размерности m -f 1 < ft. Система равенств (2.2-23) и (2.2-26) эквивалентна выражению (2.1-2). В рассматриваемом случае До-матрица специального вида, В == bo - матрица-столбец, Q = Cq-матрица-строка, D - нулевая матрица. (Если т = п, то D=do=bn/a 0.) Известны также другие методы получения уравнений в пространстве состояния (наиболее важный метод, состоящий в получении канонических форм, рассмотрен в разд. 2.5).

2 3. уравнения состояния для систем

с обратной связью

в разд. 2.2 рассмотрены уравнения состояния линейных объектов управления. Остановимся теперь на двух наиболее распространенных типах систем с обратной связью [84*].

В нелинейных системах переменная управления и нередко является нелинейной функцией ошибки е:

4 = g{e). (2.3-1)

Часто, однако, приходится иметь дело с замкнутым контуром, в котором исходная обратная связь равна нулю. Тогда для одномерного объекта и единичной обратной связи

е = - у. (2.3-2)

В этих случаях ошибку е можно выразить, используя переменные состояния

е = сТх, (2.3-3) где с -некоторый вектор-строка. Для нулевой матрицы D

у = Сх = ф (2.3-4)

и, следовательно,

ст == - С = - сТ = с1. (2.3-5)

Например, в случае фазовых уравнений из равенства (2.2-28) следует, что с' = [-с^, -с„ с^]. Для объекта с внутренней обратной связью вместо управления и будем иметь вектор U -Кх, где К-матрица порядка г X В этом случае дифференциальное уравнение состояния примет вид

X = [А - ВК] X + Ви, (2.3-6)

т. е. матрица А заменяется матрицей А- ВК.

Известно много других типов обратных связей, которые здесь не рассматриваются.

2.4. нормальные объекты

В соответствии с предыдущим уравнения состояния стационарного линейного объекта управления без чистого запаздывания можно записать в матричном виде

= 4 (2-4-1)

где с = - с+.= с . Применяя формулу (2.1-8), для рассматриваемого объекта и нулевой матрицы D полу шм

0(s) = cT[A-sI]- b. (2.4-2)

Передаточную функцию можно выразить в виде отношения двух многочленов

G(s)=. (2.4-3)

где т нулей (/и </г) многочлена Ois) степени т являются нулями функции G(s), а нули многочлена Op{s) степени п совпадают с полюсами этой функции. Многочлен

Op{s) = \s\~k\=K{s) (2.4-4)

тождествен характеристическому определителю системы.

Степень знаменателя п равна числу координат вектора х. Объект вида (2.4-1) называется невырожденным, или нормальным, если дробь в выражении передаточной функции (2.4-3) несократима, т. е. многочлены Gz(s) и Gp(s) не имеют общих нулей или, другими словами, ни один полюс передаточной функции G(s) не совпадает с ее нулем, и наоборот. Понятие невырожденности введено Поповым [7].

Понятия полная управляемость и полная наблюдаемость введены Калманом [5]. В литературе [8, 9, 13, 15, 18, 23, 34] часто используются сокращенные термины управляемость и наблюдаемость . Подробно эти понятия рассмотрены в гл. 5, ч. V.

Объект (2.4-1) полностью управляем тогда и только тогда, когда для рассматриваемого вектора с тождество G{s)=0 выполняется только в том случае, если с = 0.

Объект (2.4-1) полностью наблюдаем тогда и только тогда, когда для рассматриваемого вектора b тождество G(s) = 0 выполняется только в том случае, если Ь = 0.

Можно показать, что объект является невырожденным тогда и только тогда, когда он полностью наблюдаем и управляем.

Так как

то из разложения в ряд Тэйлора по степеням l/s при больших значениях s получим

. G(s) = c-r[A-srb=-cr[4-f~-f+ ...Jb. (2.4-5)

Из равенства (2.4-5) следует, что G(s) = 0 при ненулевом

векторе с или b только в случае линейной зависимости п векторов-столбцов

Ь, АЬ, ... , А -1Ь (2.4-6)

или п векторов-строк

ст, с^А, .... сТА -Ч (2.4-7)

Если же векторы (2.4-6) или (2 4-7) линейно независимы, то тождество G(s)0 может выполняться только в том случае, когда с=0 или Ь = 0.

Таким образом, объект полностью управляем тогда и только тогда, когда векторы (2.4-6) линейно независимы; объект полностью наблюдаем тогда и только тогда, когда векторы (2.4-7) линейно независимы. Объект является невырожденным, или нормальным, тогда и только тогда, когда обе группы векторов (2.4-6) и (2.4-7) линейно независимы.

Из выражений (2.4-2) и (2.4-3) следует, что коэффициенты мно очлена G(s) можно выразить в виде линейных комбинаций координат Ci и bj векторов с и Ь. Тождества G{s) = 0 и G{s)0 выполняются тогда и только тогда, когда с = О или Ь = 0. Отсюда следует, что дробно-рациональную передаточную функцию G{s) полностью управляемого и наблюдаемого объекта действительно можно представить в виде (2.4-2).

2.5. МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Метод канонических преобразований позволяет значительно упростить решение задач анализа и синтеза.

Рассмотрим дифференциальное уравнение состояния стационарного объекта управления

х(0 = Ах(0 + Ьк(0, (2.5-1)

в котором b- вектор-столбец размерности п, а и () - скаляр. Часто в качестве b рассматривается вектор вида b = [О, О, ... ... , бр. Матрица А-матрица коэффициентов размерности пХп, а X - -мерный вектор-столбец.

Рассмотрим случай различных собственных значений Si (г == 1, ... , ) матрицы А.

Введем линейное преобразование

xit) = Lz{t), (2.5-2)

с помощью которого уравнение состояния можно привести к каноническому виду

i(0 = Sz(0+ lu(0. (2.5-3)

где

S = L-1AL = diag [s s, s ] (2.5-4)

i=L-ib = [l, 1, iri. (2.5-5)

Обозначим единичные -мерные собственные векторы матрицы А через V, (г,... , ):

Av, = SfV, (2.5-6)

IIvJI = vJv,= l. (2.5-7)

Можно показать, что невырожденная X ft матрица канонического преобразования имеет вид

(2.5-8)

L = [Vi, V2, ... , v ].

Действительно,

LS = [VjSi, V2S2, ... , v s ] и, как следует из выражения (2.5-6),

AL = [SjVi, S2V2, ..., s v ].

Поэтому

LS = AL, т. е. S = L-AL.

Заметим, что требование (2.5-7) несущественно: равенство (2.5-8) выполняется даже в том случае, когда условие (2.5-7) не имеет места.

В случае кратных корней кратности nii.

2 Щ = я.

/ = 1

матрицу

L-1AL = diag [Ji, iva, ... , Jmv] = J

(2.5-9)

можно привести к жордановой нормальной форме, где матрица

Si 1 О ... О О О S; 1 ... О О

iml =

ООО

о

(2.5-10)

порядка miXmi называется жордановой клеткой. Преобразование

J = L-iAL (2.5-11)

называется преобразованием подобия. Матрицы А и J подобны: они имеют одинаковые собственные значения и их характеристические уравнения совпадают. Преобразование называется ортогональным, если \s- = \. Любую квадратную матрицу можно некоторым специально выбранным преобразованием по-

добия привести к канонической жордановой форме:

(2.5-12)

В этом равенстве число б равно 1, если корни кратные; в случае простых корней 6 равно нулю. Таким образом, каждая квадратная матрица подобна канонической матрице >Кордана. В случае различных собственных значений жорданова матрица становится диагональной (если, кроме того, А - симметрическая матрица, то матрица Жордана диагональна даже при наличии кратных собственных значений).

Заметим, что в случае симметрической матрицы А можно также использовать преобразование

S = LAL. (2.5-13)

Рассмотрим теперь векторное дифференциальное уравнение относительно фазовых переменных (2.2-22)

х(0 = Aox() + boU().

(2.5-14)

В этом случае, если все собственные значения Si различны, то можно воспользоваться невырожденным матричным преобразованием с определителем Вандермонда:

r.n-1

(2.5-15)

Применяя это преобразование, придем к уравнению (2.5-3), в котором

5 = У-1АэУ, l = V-%. (2.5-16)

В общем случае 1 [1, ... , 1Г и 1 [О, О, ... , О, Цт. Для

нахождения обратной матрицы воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа для многочленов /(s) степени

( = 1

где

Л() = П^ (2.5-18)

-многочлен степени n-\ и Я,(s-) = 8, 8-символ Кронекера: 8/ = 1, если i = и 8(7 = 0, если 1ф]. Пусть

/(s) = s*, (2.5-19)

тогда

л

5 = 2 5?Л (s) (fe = О, 1,..., - 1). (2.5-20)

= 1

В матричных обозначениях

S = Vp, (2.5-21)

где

s = [l, S, s2,..., s -if,

р=[Я Яз,..., я Г

(для краткости под знаком полиномов P,(s) опущено обозначение переменной s). Из векторного уравнения (2.5-21) найдем вектор р:

p = V-s. (2.5-22)

Обозначим через Vij элементы матрицы V~. Запишем векторное равенство (2.5-22) в форме

ЯД5) = Д(г= 1,2,..., ). (2.5-23)

Следовательно, элемент Юц, стоящий на пересечении г-й строки и у-го столбца обратной матрицы, равен коэффициенту при s- в многочлене Pi{s), заданном в виде произведения (2.5-18). Координаты вектора-столбца 1 вычисляются по формуле

где

/C(s) = sI-Ao (2.5-25)

/(s)= i/(s/)e(s), (2.5-17)

-определитель системы, который с точностью до произвольного постоянного множителя совпадает со знаменателем Gpis) передаточной функции G(s). Вектор bo = [О, О, ..., О, 1], поэтому 1 = V- bo = vn ..., V ].

Таким образом, величина у,- является коэффициентом при наивысшей степени в многочлене Pi(s):

1 S - Si

Si - sj K{s)

Этот коэффициент совпадает с вычетом, соответствующим полюсу Si.

2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разд. 2.2 показано, как определить фазовые переменные по передаточной функции объекта управления. Остановимся теперь на выводе фазовых уравнений по уравнениям состояния [14, 20, 22]. Обсудим здесь только один метод, предложенный в работах [26, 27]. Применение этого метода не требует обращения матрицы и отыскания собственных значений.

Отметим еще раз, что переменные состояния определяются неоднозначно. Пусть, например,

V = Тх (2.6-1)

-произвольное преобразование с невырожденной матрицей Т. Так как

X = T-v, (2.6-2)

дифференциальное уравнение относительно фазовых переменных

X = Аох + Ьом (2.6-3) можно привести к дифференциальному уравнению состояния

V = Av + Ьи, (2.6-4)

где

А = ТАоТ-1 и Ь = ТЬо. (2.6-5)

Матрицу Т можно выбрать бесконечным числом способов. Поэтому число возможных представлений (2.6-4) также бесконечно.

Обсудим теперь обратную задачу. Будем исходить из дифференциального уравнения состояния (2.6-4) и найдем матрицу

преобразования Т, с помощью которой можно получить дифференциальное уравнение (2.6-3). Пусть

/C(s) = s -h 2 a,s (2.6-6)

j =0

- характеристический многочлен матрицы А. Допустим, что объект полностью управляем, тогда, по теореме Кели - Гамильтона (разд. 1.1), существует такая матрица А, что

А Ь -f 2 ,Ab == 0. (2.6-7)

Если система не является полностью управляемой, то матрица А Ь не определяется однозначно. Положим

to = b,

, = At(. i -f a ;b (г = 1, 2,..., /г - 1), (2.6-8)

t = 0.

Если объект полностью управляем, то легко показать, что векторы и, ti, . .., tn-i линейно независимы. В этом случае искомая матрица преобразования имеет вид

T = [t i, t 2,..., t to]. (2.6-9)

Матрица Т является невырожденной: ее векторы-столбцы линейно независимы. Из формул (2.6-5) следует, что искомое преобразование должно удовлетворять соотношениям

ТАо = АТ, (2.6-10)

Tbo = b. (2.6-11)

Однако в соответствии с равенствами (2.2-24)

TAq = [-aoto, t i - aitfl,..., t, - a ito]. (2.6-12)

Из формулы (2.6-9) получим

AT = [At i, At 2,..., Ato]. (2.6-13)

Нетрудно убедиться, пользуясь равенствами (2.6-8), что правые части выражений (2.6-12) и (2.6-13) совпадают; кроме того,

ТЬо = to = Ь. (2.6-14)

В работе [21] дано следующее пояснение по поводу выбора матрицы преобразования (2.6-9). Умножим обе части равенства (2.6-10) слева на матрицу А. Используя повторно это равенство.