и, следовательно,

Итак, оптимальное управление 4°(t) осуществляется в направлении наискорейшего убывания (совместимого с ограничениями) вдоль поверхности минимального времени 7(х) в начальной точке х(0). Согласно принципу минимума Понтрягина,

цот (0) BV (0) < цТ (0) ВТрО (0). (1.4-9)

Из соотношений (1.4-8) и (1.4-9) находим, что при С>0

дх х = х(0)

есть внешняя нормаль к изохроне /(т). Таким образом, если векторы

р (0) и С?7 (х)/С?Х|х = х(0)

существуют (начальное состояние не является угловой точкой изохроны), то они коллинеарны. Все сказанное, конечно, справедливо также для любого другого промежуточного состояния, отличного от начального.

Заметим, что если действительные части всех собственных значений матрицы А не положительны, то оптимальное по быстродействию управление существует для любых начальных состояний системы с конечным состоянием в начале координат.

Наконец, отметим, что некоторые из теорем для оптимальных систем могут быть распространены также на неавтономные системы.

Системы, оптимальные по расходу топлива. В общем случае задачи об оптимальном расходе топлива сложнее задач об оптимальном быстродействии [24, 26. 28, 29, 58, 65, 93, 94, 135, 180, 204]. Мы рассмотрим сначала случай нелинейной системы уравнений (1.4-1).

Допустим, что скорость потока топлива измеряется функцией

/о(0>0, 0<t<T, (1.4-10)

связанной с управляющим вектором U соотношением

/о(0=/о(1 (01),

где, по определению, u = [tti, Ц == sign и.

Часто предполагается, что

/о(0 = сТи(01, О>0(/=1. 2.....г). (1.4-11)

Суммарный расход топлива определяется соотношением

(1.4-12)

Как правило, дифференциальное уравнение изменения массы топлива можно записать в виде

=-cTlu(Ol. (1.4-13)

Следовательно, общее изменение массы

I = т{0)-т{Т). (1.4-14)

Легко видеть, что для целевой функции f (t) вида (1.4-11) закон оптимального управления определяется из условия минимума выражения

uT(0[signu(0 + Ciq(0!

или

\Uj{t)\-Uj

В выражении (1.4-15) матрица C=diag [cj, Сг, .... с^\. Таким образом,

(1.4-15) (1.4-16)

и} (О =

- 95- (О - sign , если

<1, >1,

и% = - sgzm

9? (О

(/=1, 2, г).

(1.4-17)

(1.4-18)

или в векторной форме

= sgzm C-iqO(0. (1.4-19)

Задача об оптимальном расходе топлива называется нормальной, если имеется счетное множество моментов времени в интервале [О, Г], таких, что

~y,pW)bij{x it), t)

= 1.

Эта задача называется вырожденной [141, 143, 246], если последнее условие выполняется также для конечного числа промежутков времени.

Для нормальной задачи последовательные значения оптимального управления могут принимать только три значения: -Ь1,0, -1 или 1,0, +1.

Для автономных линейных систем достаточное условие нормальности задачи об оптимальном расходе топлива состоит в том, что определители

I GJAT I 0 (/=1, 2, г), (1.4-20)

где матрица Gj- определяется равенством (1.4-6).

Сформулированное условие является достаточным, поэтому задача может быть нормальной даже в том случае, когда это условие не выполняется. Необходимое условие вырожденности [141, 143, 146] состоит в том, что определитель

IGJAI = IGJ1IAM =0

для некоторого /.

Итак, если система (1.3-1) нормальна и А - невырожденная матрица, то рассматриваемая задача является нормальной задачей об оптимальном расходе топлива. Кроме того, если эта задача нормальна, то оптимальное управление, если оно существует, единственно. В этом случае единственность оптимального управления означает также единственность экстремального управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности.

Сформулируем теперь несколько других классов задач об оптимальном расходе топлива. Пусть заданы автономная нелинейная система

i (О = f (X it)) -f В (X (t)) u if), (1.4-21)

ограничения uQU в виде Иу < 1 (/=1, 2, ... , г),функцио-нал стоимости

г

/ (U) = J [uT it) sign u (t)] dt, (1.4-22)

начальное состояние x(0) и не зависящее от времени множество цели С.

Найти допустимое управление, которое минимизирует функционал

а) /(и) при свободном времени;

б) /(и) при T=Tf{Tf закреплено);

в) /(и) при Т{Тр закреплено);

г) /(и) при 1{и)<С1р, где =-заданная положительная поч стоянная;

Д) функционал

J{u)==kT + I (U) = + (О sign u {t)] dt,

где К - заданная положительная постоянная и время Т свободно.

Введем теперь некоторые дополнительные переменные: переменную Xu(t) определим из дифференциальных уравнений Xo(t) = u(t) &ignu(t) для задача)-в), ХцСО = 1 для задачи г) и Xf{t)=K+u(t)sign\x(t) для задачи д) (с начальным условием Хо(0)=0). Кроме того, введем переменную Xn+i(t) с помощью дифференциальных уравнений Xn+i(t) = l в задачах б) и в) и л;п-н(0 = signuCO в задаче г) (с начальным условием Xn+i{0)=0). Гамильтоновские функции состояния определяются соотношением

= Яо + рТ (О f (X (0) + рТ (О в (X (0) U (i). (1.4-23)

Для каждой из задач функции Hq задаются равенствами

а) Яо-0 + 13(0signu(О,

б) Яo = Я+uT(Osigпu(0,

в) Яo = Я+uT(Osigпu(0,

г) Яо=1 +P T()signu(0,

д) Яo = /C+uT(Osignu(0, где = Р = const.

Если каждая из задач нормальна, то векторные функции переключения записываются в виде

а) к = к(х(0, С),

б) к = к(х(0, С,

в) к = к(х(0, С,

г) к = к(х(0, С, If),

д) к = к(х(0, С).

В задачах б) и в) система управления с обратной связью оказывается зависящей от времени (рис. 1.3-5); во всех остальных случаях обратная связь явно от времени не зависит (тем не менее в задаче г) следует учитывать расход топлива I(t) за время t). Дополнительными входами в вычислительную машину, помимо вектора состояния x(t), является определенная совокупность из одной, двух или трех характеристик С. t. Тр. I(t) и h в зависимости от типа решаемой задачи.

Системы, оптимальные по минимуму энергии. Рассмотрим линейную полностью управляемую неавтономную систему

X (О = А (О X (О + В (О U (О (1.4-24)

с заданным начальным состоянием х(0) и конечным состоянием х(7) = 0. Предположим, что ограничения на управление и (О отсутствуют. Рассмотрим достаточно общую постановку задачи,

для которой функционал стоимости г

/(U) = 4- J [ (ОР(Ох(О + и^(0Q(Ои(0+

о

т

+ f хТ(0 M(0u(0rf. (1.4-25)

о

Найдем управление u(t), которое минимизирует функционал /(и) и переводит систему из начального состояния х(0) в конечное состояние \(Тр)=0 в течение заданного времени Т=Тр. Этот функционал можно также представить в виде равенства г

/ (U) = -1 f [х^ (О, ит (0] R (О [х^ (0. {t)]4t, (1.4-26)

где матрица

-р(0 м(0 мт(о Q(o

R(0 =

(1.4-27)

Функционал /(и) положителен при условии, что R(0 - положительно определенная матрица. Отсюда следует, что матрицы P(t) и Q(t) также положительно определенны и каждая из трех рассмотренных выше матриц имеет обратную. Гамильтоновская функция состояния задается формулой

= i- хт (О Р (О X (О + I (О Q (О U (О +

+ хт (О М (О U (0+ Р (О А (О X (О + Р (О в (О U (О- (1.4-28)

Необходимые условия оптимальности управления и° (t) состоят в том, что вектор состояния х (О и вспомогательный вектор р (t) удовлетворяют каноническим дифференциальным уравнениям

х (О = А (0x0(0 +В (О и (О,

рО (О = - Р (О х (О - М (О и (О - AT (О р (О (1.4-29)

с граничными условиями х(0) и х(Тр) и, кроме того, усеченный гамильтониан

0 (U (0) = 4 ит (О Q (О U (О + х^ (О М (О U (О + Р^ (О В (О U (О

(1.4-30)

достигает абсолютного минимума при u{i) = vP{i). Так как ограничения на управление и (О отсутствуют, то из необхо-

димого условия

= Q (О и (О + Мт (О х (О + ВТ (О р (О = О, (1.4-31)

которое в силу положительной определенности матрицы

du{t)du{t)

= Q(0

является также и достаточным, найдем вектор оптимального управления в виде

и it) = - Q-1 it) [МТ (О х (О -f ВТ (О ро (0]. (1.4-32)

Заметим, что это решение единственно. (Следует иметь в виду, что для МСО-О вектор оптимального управления совпадает с решением, которое получается методами вариационного исчисления.)

Вектор оптимального управления есть линейная функция векторов х^СО и Р^СО. а управление u(t) однозначно определяется этими векторами. Отсюда следует, что эта задача является нормальной. Заменяя и (О в канонических дифференциальных уравнениях (1.4-29) выражением (1.4-32), получим

х it) = [А (О - В (О (О (t)] х (t) -

-[В(0О-Ч^)В'Г(0]р'(0, (1.4.33) рО () = [ р () + м it) Q-1 it) МТ it)] X (0-f

-f [-at it) + M (0 Q- it) ВТ (0] p it).

Вводя сокращенные обозначения для матриц, заключенных в квадратные скобки, будем иметь

x4t) = А..(Ох (0 + ахр(орчо. 4.34)

рПО = Арх(Ох (0 + Арр(ОР (0-

Используя принцип суперпозиции, запишем решение линейного дифференциального уравнения с помощью соответствующих матриц перехода (разд. 4 ч. V) в виде

X it) = Фхх it, 0) хО (0) + Фхр it, 0) р (0),

рОit) = фр, it, 0)хО(0)-f Фрр it, 0) р (0). Отсюда и из условия x>iTp) = 0 получим, что

ФхрiTf, 0)р<>(0) = - Фхх iTp, Q)х<>(0). (1.4-36)

Если матрица Фхр(7л 0) невырожденная, т. е.

Фхр(7л 0)tO, то рО (0) = - Ф;г^ {Тр, 0) Фхх {Тр, 0) х (0).

Подстановка этого выражения в уравнения (1.4-35) дает

х (О = [Фхх {t, 0) - Фхр {t, 0) ф-4 {Тр, 0) Фхх {Тр, 0)1 х (0),

(1.4-37)

р'(0=[Фрх(. 0)-Фрр(, 0)ф-4 {Тр, 0) Фхх (7л 0)]х (0).

Используя эти соотношения в равенстве (1.4-32), получим

иО() =-Q- (О (МТ (О [Фхх {t, 0)-Фхр {t, 0) Фх {Тр, 0) Фхх (7f, 0)] + -f ВТ (О [Фрх {t, 0)-Фрр (/, 0) Фх {Тр, 0) Фхх (7., 0)]} хо (0).

(1.4-38)

Итак, если оптимальное управление существует и матрица перехода Фхр(7, 0) невырожденна, то оптимальное управление единственно и определяется равенством (1.4-38). При этом существует только одно экстремальное управление, которое совпадает с оптимальным.

Если же матрица Фхр {Тр, 0) вырожденна, то может существовать несколько векторов начальных значений р'(0), для которых выполняется соотношение (1.4-36). В этом случае существует много экстремальных управлений и возможны другие оптимальные решения.

Рассмотрим теперь задачу о минимуме потребляемой энергии при ограничениях (1.3-3).

Мы покажем, что компоненты оптимального управления являются непрерывными функциями времени и что существуют интервалы времени, на которых компоненты оптимального управления постоянны. Свойство непрерывности является отличительной чертой этой задачи по сравнению с задачами об оптимальном быстродействии и расходе топлива, в которых компоненты оптимального управления являются кусочно-постоянными функциями времени.

В рассматриваемом случае гамильтониан, канонические Дифференциальные уравнения и граничные условия остаются теми же. Отличие состоит в том, что минимум функции состояния (1.4-30) определяется при наличии ограничений (1.3-3). С помощью несложных преобразований получим, что

Н, (U (0) = цТ (О Q (О (т ч (О + (О W (О X (О + ВТ (О р (01}.

(1.4-39)

Введем обозначение

qO (О = (О [МТ (О хО (О + ВТ (О р° (0). (1.4-40)

Компоненты вектора управления, для которых гамильтониан минимален, задаются равенствами

иЩ-дЩ, \чЩ\<\, .

и) (О = - sign 9° it), I (О I > 1. Таким образом,

5.(0=-sat 9.(0. (1.4-42)

или в векторной форме

uO(0 = -satqO(0. (1.4-43)

Мы получим тот же результат, что и в рассмотренных выше задачах, однако теперь выражение для вектора q (t) имеет другой более сложный вид.

Вырожденные управления. В общем случае вырожденные задачи гораздо сложнее нормальных задач оптимизации. Это объясняется тем, что в этих задачах условия минимума на гамильтониан не дают информации относительно связи и с х и р . Поэтому возникает потребность в получении других необходимых условий [141, 143, 246]. К сожалению, в настоящее время имеется очень мало общих результатов, относящихся к существованию решений вырожденных задач оптимизации.

Рассмотрим автономный объект

i(0 = f(x(0) + b(x(0)u(0, (1.4-44)

для которого область управления ограничена условием

1и(01<1. (1.4-45)

а минимизируемый функционал имеет вид

/ (U) = [ [/о (X (0) + Ь, (X (0) и (01 dt. (1.4-46)

Введем вспомогательные функции

а(р(0, х(0) = р'(0*(х(0).

Р(~р(0, х(0) = ?(0Ь(х(0).

(1.4-47)

причем (О = Л) = const > 0. Тогда гамильтониан

Hp = Hp (р (0. X (0. U (0) = РV~(x (0) + Р'Ь (X (0) (О (1-4-48)

можно записать в виде

Hp = Ир (Р (0. X (О, U (0) = (Р (0> X (0) +Р (р (О, X (0) (0-

(1.4-49)

Если так называемая функция переключения р не равна нулю, то оптимальное управление выражается

(О = - sign р (р (О, X (0). (1.4-50)

Если же скалярная функция Р равна нулю на конечном подынтервале, то функция sign неопределенна и оптимальное управление не описывается выражением (1.4-50). Предположим, что функция

Р = рТ(ОЬ(х(0) = 0, U<t<t2 (1.4-51)

на некотором подынтервале/ i < г* </ g. Если время свободно, то Яр = О и

а= pT(Of(x(0) = 0, h<t<t2. (1.4-52)

В противном случае правая часть последнего равенства равна некоторой постоянной величине, отличной от нуля.

Из соотношений (1.4-51) и (1.4-52) следует равенство нулю производных любого порядка функций а и 3. Используя это, получим некоторые дополнительные условия. Например, из условия d/dtO получим соотношение

рТ(0Ь(х) + рТ(04?-х(0 = 0, /i<</2. (1.4-53)

Канонические уравнения записываются в виде

х(0 =f(x)-fb(x)M(4

P(0=-P(0-PW (0. (1-4-54)

() = Т рТ () ().

Заменяя в уравнении (1.4-53) производные p(t) vix(t) их выражениями (1.4-54), получим в результате алгебраических преобразований, что коэффициент при u(t) равен нулю и, следова-

тельно,

= 0. (1.4-55)

?(0-?f(x)-?(0 4Mx)

(Аналогичный результат можно получить из условия da/dt=0.) Запишем теперь выражение (1.4-55) в виде

pT[Xi(x)-fpT,(x)K(0 = 0. (1.4-56)

Определяя вторую производную функции а или р, получим

при V, = О необходимое условие вырожденности управления в виде равенства

Pi2 (X) + Р\ (x)tt (О = 0. (1.4-57)

Повторяя процедуру последовательного дифференцирования при условии, что значения = ... = V;j i == О, придем к соотношению

PVft (X) + рЧ (X) и (t) = О, (1.4-58)

в котором коэффициент ч^Ф^- Наконец, из этого уравнения найдем вырожденное экстремальное управление

(0=--г^-. , <<2- (1.4-59)

Pft (х)

Само собой разумеется, что это управление должно удовлетворять неравенству 1(011 и, кроме того, всем необходимым условиям оптима[льности.

1.5. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ С ТРАНСПОРТНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В этом разделе рассмотрена задача оптимального управления для систем с транспортным запаздыванием. В последнее время задачам построения оптимальных систем с чистым запаздыванием уделяется большое внимание. Для постоянного времени задержки эту'задачу управления можно решить на основе методов вариационного исчисления, принципа максимума или динамического программирования, распространив их на системы дифференциально-разностных уравнений.

Однако на практике системы с чистым запаздыванием встречаются крайне редко. Следуя работе [264], покажем, как при-