В данной части показано, что системы управления, к которым предъявляются специфические требования, например релейные системы или системы с ограничениями на переменные, минимизирующие время (расход топлива или энергии), можно реализовать, используя нелинейные характеристики. Подобные задачи или не могут быть решены вообще с помощью линейных систем, или решаются только в исключительных случаях с помощью специальных приемов. Теория управления, так же как любая другая техническая наука, имеет дело главным образом со стационарными линейными системами. Это могло бы создать впечатление, что стационарные линейные системы составляют общий случай, а нестационарные или нелинейные системы - исключение. Однако на практике физические системы в основном нелинейны, причем параметры в той или иной степени зависят от времени [3]. В каждой физической системе рано или поздно устанавливаются некоторые ограничения либо при убывающих колебаниях переменных (например, границы чувствительности), либо при возрастающих (явление насыщения и т. п.). Фактор времени обнаруживается в явлениях старения и усталости. Распространенность стационарных линейных моделей можно объяснить тем, что их довольно простое математическое описание приводит к очень общим теоремам. Анализ, а тем более синтез нестационарных и, в частности, нелинейных систем, напротив, чрезвычайно сложен и труден. Их описание приводит к небольшому числу общих теорем [1, 2]. Поэтому обычно предпринимаются попытки заменить, если возможно, нестационарную или нелинейную систему линейной моделью и исследовать последнюю. При этом, однако, не следует забывать, что линейная система представляет собой некоторую степень математической абстракции, которая не встречается в чистом виде в реальном физическом мире. Все это говорит о чрезвычайной важности нелинейных и нестационарных систем [1*, 3*. 7*, 12*, 26*, 32*, 49*-51*, 55*, 58*, 62*, 65*. 66*, 68*, 72*. 80*. 82*,

84*. 86*, 89*, 98*, 99*, 101*, 106*, 108*-110*, 133*, 138*, 141*, 144*, 147, 1491 .

1.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Каждый элемент, устройство или часть стационарной линейной системы описывается линейным алгебраическим или дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (в случае нескольких переменных - совместной системой алгебраических или дифференциальных уравнений).

Таким образом, система, показанная на рис. 1.2-1, линейна, если связь входной переменной u(t) с выходной y(t) может быть записана в виде

у(0 = /С (4 (1.2-1)

где К - постоянный коэффициент усиления. Аналогично система (или элемент) линейна, если связь можно выразить, например, с помощью дифференциального уравнения

dy{t)

Рис. 1.2-1. Блок-схема преобразователя или системы управления.

+ 1

-a,nt) = u{t), (1.2-2)

где an, ... 1 о - постоянные коэффициенты.

Элемент с временными задержками также будет линейным, если, например, справа записать u(t - Тв). Известно, что линейные системы удобно изучать с помощью преобразования Лапласа, которое преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое с комплексной переменной.

Если коэффициент усиления К или любой коэффициент йп, ..., Go зависит от времени, то элемент (устройство или часть системы) является нестационарным (неавтономным). В этом случае то же самое можно сказать о всей системе. Например, система, показанная на рис. 1.2-1, будет нестационарна, если

y{t)K{t)a{t) (1.2-3)

(О . . + 1 (О+ 0 (О У (О = (t). (1.2-4)

Отметим, что рассмотренные выше нестационарные системы являются линейными, т. е. к ним применим принцип суперпозиции. Например, если входным переменным Ui(t) и ЫгГО соответ-

* Звездочками обозначены ссылки на литературу, помещенную в конце книги. -Прим. ред.

ствуют выходные переменные y\(t) и УгГО. то и для нестационарной системы входной переменной Ui(t) + U2(t) будет соответствовать выходная переменная {/ifO+TO- Это легко проверить, например, подстановкой в дифференциальное уравнение (1.2-4)-

Нестационарные системы значительно труднее анализировать, чем стационарные. Преобразование Лапласа не приводит к таким простым результатам, как в случае постоянных параметров, так как преобразование Лапласа от произведения функций времени будет равно интегралу свертки по комплексной переменной. В общем случае решение уравнений с переменными параметрами или дифференциальных уравнений выполняется во временной области, и методы решения их часто напоминают методы решения нелинейных или дифференциальных уравнений.

Наконец, если дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, нельзя преобразовать к виду (1.2-4), то система нелинейна. Например, если в исследуемых алгебраических или дифференциальных уравнениях зависимая переменная (например, выходная) или ее производная некоторого порядка присутствует не только в линейной форме, но также в произведении с другими переменными или в любой целой или дробной степени, то эти уравнения нелинейны [3]. Естественно, когда зависимая переменная допускает форму степенного ряда или аналитически замкнутое выражение от него, алгебраическое или дифференциальное уравнение опять будет нелинейным. Если, например, в системе, показанной на рис. 1.2-1, связь входных переменных с выходными имеет вид

[y(i)] = Kuii) (1.2-5)

\y{i)V = Kait), (1.2-6)

где пФ\-целое число, то система нелинейна. Аналогично система нелинейна, если она описывается, например, дифференциальным уравнением вида

+ sin у (О =Ku(i). (1.2-7)

Решить нелинейные уравнения выше первого порядка обычно очень трудно, и каждый тип нелинейного или дифференциального уравнения необходимо исследовать отдельно.

Следует добавить также, что нелинейную зависимость часто нельзя выразить в математическом виде или эта зависимость справедлива только приближенно. В таких случаях связь выражают графически. Немало подобных случаев встречается в инженерной практике; графики намагничивания, характеристики электронных ламп, транзисторов, волноводов и т. д.