Задумывались ли вы, почему современные методы проектирования называют логическими ? Анализ наиболее интересных разработок в области конструирования ЭВМ показывает, что в этих технических решениях содержатся и элементы, произвольно выбираемые конструкторами. Не существует также логически-однозначных методов оптимизации функционирования мини-ЭВМ и микропроцессоров. Почему же говорят о логических методах проектирования? Законы логического мышления систематически исследовались английским математиком Дж. Булем [1]. Он разработал метод проверки истинности определенных высказываний. В рамках этого подхода различные возможности фиксируются в виде предложений, и к этим высказываниям применяются специальные операции объединения и вывода логических следствий. Таким образом, понятия истинности и ложности берут свое начало в исчислении высказываний, приводящем к современным методам проектирования с использованием таблиц истинности. Структура современных таблиц истинности отличается от первоначальной, но термин логическое применительно к конструированию продолжает использоваться.

В булевой алгебре определяется ряд операций, достаточно удобных для использования при логическом конструировании. Можно заметить, однако, что в булеву алгебру входит операция, без которой при этом можно обойтись, и в то же время в ней отсутствуют некоторые весьма удобные операции. В соответствии с этим логику проектирования удобнее представлять математическим аппаратом алгебры переключательных схем, получившей развитие в работе Шеннона, Венна и Карно [2] и обсуждаемой в данной главе. В частности, здесь рассмотрены методы описания и проектирования переключательных схем посредством карт, дающих графическое представление используемых операций. Они используются во всех последующих главах.

1.1. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В алгебре переключательных схем имеются по существу всего три основные операции. Другие операции могут быть построены как их комбинации. Чтобы проиллюстрировать смысл этих ос-

новных операций, рассмотрим прямоугольник, представляющий множество всех элементов, к которым эти операции применимы. Подмножество точек прямоугольника может быть изображено кругом внутри него. Два подмножества У и Z представляются в виде двух кругов внутри одного и того же прямоугольника

Рис. 1.1. Множества и подмножества.

Рис. 1.2. Определение операции И, YZ.

(рис. 1.1). Исходя из такого изображения, называемого диаграммой Венна, может быть определена операция И, обозначаемая также символом . Заштрихованная область на рис. 1.2 представляет объединение подмножеств, описываемое выражением Y-Z, и является графической иллюстрацией определения операции И.

Рис. 1.3. Нумерация областей на диаграмме Венна.

Рис. 1.4. Определение операции ИЛИ,

y+z.

Операция И относится к основным операциям алгебры, поскольку обеспечивает выбор определенной минимальной области). Четыре такие минимальные области изображены на рис. 1.3. Абсолютная минимальная область в рассматриваемом прямоугольнике является пустым множеством, но это не представляющий особого интереса вырожденный случай. Операция И используется по существу для определения одного из основных подмножеств точек.

1 Под минимальной областью здесь понимается множество точек е определенным сочетанием состояний принадлежности этих точек множествам Y и Z и их дополнениям У и Z. Минимальные области являются графическими аналогами используемого далее в разд. 1.4 понятия минитерма. - Ярмж. перев.

:: Заштрихованная область на рис. 1.4 представляет действие операции ИЛИ, которая обозначается символом +. Не следует удивляться использованию знака +. На любой пишущей машинке, как и в любом типографском наборе литер, имеется достаточное количество знаков для выражения основных операций. Использование знака + для обозначения тех или иных операций является результатом договоренности.

Рис. 1.5. Изображение области У.

Операция ИЛИ применяется для выделения максимальной области внутри прямоугольника, если исключается предельный случай охвата всей площади. Выделение максимальной области и определяет пользу и назначение этой операции.

Операции и + ограничены в своих возможностях выделять подмножества. В связи с этим вводится также основная операция НЕ (рис. 1.5). Действие операции НЕ на подмножество У представлено на этом рисунке заштрихованной областью. Операция НЕ обозначается символом ~. Заштрихованная область на рис. 1.5 обозначается как У и читается не У . Эта операция позволяет распространить действие операций И и ИЛИ на другие подмножества. :

1.2. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Вместо диаграмм Венна производители интегральных схем для вычислительной техники обычно пользуются таблицами истинности. Использование этих таблиц основано на несколько иных

Таблица 1.1

Таблица истинности для операции И

Таблица 1.2

Таблица истинности для операции ИЛИ

Таблица 1.3

Цифровое обозначение областей для операции YZ