При проектировании чаще всего приходится встречаться с ситуацией, когда часть узлов уже выбрана или, по крайней мере, известна погрешность каких-либо узлов. Принципиально, прибегая в случае необходимости к тем или иным упрощениям, можно объединить выбранные узлы в один, поэтому в дальнейшем речь идет об одном известном узле, например с номером N.

Далее, выбирая Ег (t=l, 2, ..., N- 1) при заданном г^, будем считать

т. е. полная погрешность системы не окажется меньше погрешности заданной ее части.

При этих условиях формула для оптимального значения погрешности остальных узлов будет иметь вид

1 = 1, 2,..., N - 1.

Если даже неизвестны абсолютные значения удельных затрат на снижение погрешности, но удается оценить отношения удельных затрат Ci/cjv, то последняя формула и в этом случае дает решение задачи о наиболее выгодных погрешностях е, выбираемых узлов. Но это решение, очевидно, найти нельзя, если не удается оценить отношения Cj/Cjv.

Один из применяемых в таком случае эвристических подходов, который можно назвать экономным , предполагает необходимость считаться с затратами на повышение точности узлов, несмотря на отсутствие сведений о связи этих затрат с повышением точности. При этом, если отсутствует иная информация, можно допустить, что узлы в смысле удельных затрат на уменьшение погрешности равноценны (Ci=Cjv), откуда находим

/ Йд, \1/(1 h-?)

Из этого выражения следует, что при равном вкладе погрешностей узлов в полную погрешность {Ы=кп) экономный подход приводит к известному принципу выравнивания частных погрешностей. Однако при различных вкладах hi погрешностей узлов дело обстоит сложнее. Равенство всех вкладов ошибок узлов в полную погрешность оказывается выгодным только при -0, т. е. при пренебрежимо малых удельных затратах, необходимых для снижения погрешности Ej. Ближе к реальности показатель 9=1, тогда

Другой подход, который можно назвать страховочным , игнорирует затраты на снижение погрешностей в выбранных узлах.

подчиняясь стремлению уменьшить до разумного минимума их дополнительный вклад

Ео=еобщ-S,N

в полную погрешность.

Величину Во можно установить, руководствуясь одним из нескольких альтернативных принципов, которые широко применяются на практике из интуитивных соображений.

Чаще всего основываются на принципе, который можно назвать принципом несущественного вклада. Этот принцип заключается в том , что допустимый дополнительный вклад ео назначается как некоторая часть г=го/г^ от заданной ошибки en, причем такая, что значение г можно считать несущественным по сравнению с единицей. Назначенную дополнительную погрешность eo=rejv можно распределить между выбираемыми N-1 узлами по принципу равных погрешностей, равных вкладов, либо, наконец, пользуясь экономным подходом.

При проектировании иногда приходится сталкиваться также с многомерным случаем, когда заданы No узлов, каждый из которых вносит погрешность eis в соответствующую k-ю операцию, и предстоит выбрать погрещность гг/г, добавляющуюся к погрешностям Bift в k-ii операции. Для охарактеризованного случая можно предложить принцип пропорционального вклада, заключающийся в соблюдении соотношения

e2ft/eift=,

где ?1 -постоянная, одинаковая для всех k=l, ..., No.

Отношение К может быть назначено по принципу несущественного вклада, если на возможность снижения погрешностей ег* не налагаются никакие ограничения, либо исходя из имеющегося ресурса допустимых затрат. Если при проектировании имеются соображения, по которым желательно уменьшить полную погрешность ek=Eik+e2k для некоторых k, то эти соображения могут быть учтены назначением различных К, так что может быть получено

Выбор между экономным и страховочным подходами определяется взглядами проектировщика на соотношение между требованиями к эффективности. ИИС и допустимыми затратами. Возможен, по-видимому, и компромиссный подход, в котором погрешности узлов назначаются в промежутке между теми, которые, предписываются экономным и страховочным подходами.

Для примера рассмотрим самый простой случай, когда все hi равны между собой. Экономный подход в этом случае означает, что погрешности искомых узлов принимаются равными заданной, а страховочный подход при использовании, к примеру, оценки погрешности в виде среднего квадратического отклоне-

ния и с применением принципа несущественного вклада, - что-

Совершенно очевидно, что приведенные соображения полностью не исчерпывают проблему распределения погрешностей по звеньям при проектировании ИИС, однако дают возможность осмысленно подойти к решению этой задачи. Нужно подчеркнуть, что при оценке качества проекта системы обязательно принимается во внимание, каким образом распределена суммарная погрешность между ее звеньями.

20.4. О ПОГРЕШНОСТЯХ КВАНТОВАНИЯ ПО УРОВНЮ И ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

В средствах ИИТ операции квантования по уровню либо выполняет экспериментатор (если используется представление информации в аналоговом виде), либо они выполняются автоматически (в цифровых измерительных приборах, в АЦП, входящих в состав ИИС).

Квантование по уровню приводит к погрешности (иногда ее называют шумом) квантования по уровню, вызванной округлением значения непрерывной неизвестной измеряемой величины до какого-либо (обычно ближайшего) значения известной дискретной величины. Следует заметить, что в случае, если исследуемая величина в процессе квантования по уровню изменяется во времени или в пространстве, то появляется динамическая составляющая погрешности квантования. Эта составляющая обычно уменьшается до приемлемого уровня путем обеспечения соответствующего-быстродействия средств ИИТ.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением статической составляющей погрешности квантования, считая, что измеряема величина в процессе выполнения операций квантования неизменна.

Наиболее распространено в практике ИИТ равномерное квантование, при котором диапазон изменения значений непрерывной величины разделен на п одинаковых частей - интервалов квантования q.

Значения х в пределах шага квантования нужно относить к определенному уровню квантования, обычно к верхней или ниж ней границе интервала квантования либо к его середине (рис. 20.2). Погрешность квантования Axk=kq-x является периодической функцией, изменяющейся в зависимости от значения X в пределах от О до - при отнесении значения х, попавшего в данный интервал квантования, к нижней его границе, от О до -\-q-к верхней границе и от -\-q/2 до -/2 -к середине интервала квантования.

Так как л -случайная величина с плотностью распределения f(x), то и Ах-также случайная величина, зависящая от х. Тогда вероятность появления значения х в интервале {xk-q/2, Xk+q/2) будет определяться вероятностью ошибки Axk-

\NV\j\NN

Рис. 20.2. К определению погрешности квантования по уровню:

а - округление к нижней границе интервала квантования; б - округление к верхней границе интервала квантования; е - округление к середине интервала квантования

Математическое ожидание Ахи

х^-.7/2

Дисперсия

D[Ax]= 5 {x,-xfn>)dx.

Рис. 20.3. Плотность распределения квантуемой величины в пределах интервала квантования

Полагая, что q<Xmax-Xmin, можно считать, что /(х) постоянна в интервале q и равна /(х^) (рис. 20.3), т. е. f{xk)q=

= у /(х)<х. Тогда M[Axft] =0, а

D{Ax,]l{K) J {x~K,fdxf{K)q

Следовательно, дисперсия D[Axk] является произведением дисперсии равномерно распределенной в интервале q величины лг на вероятность попадания х в этот интервал. Просуммировав выражения для D{hxk\ по всем уровням Xk, получим дисперсию

погрешности квантования как математическое ожидание дисперсий на отдельных уровнях квантования;

п п

ft=l ft=I

Если 2 f{4)q. ro D,=:V12.

Таким образом, с достаточной точностью погрешность квантования можно полагать равномерно распределенной в пределах интервала квантования случайной величиной с M[Axk]~Q и I)j:=q/12 (при отнесении результата квантования к середине кванта).

Выше кратко рассматривалась погрешность при равных интервалах квантования по уровню. Возможна, однако, постановка задачи оптимального квантования по уровню, при котором интервалы квантования могут быть не равны между собой. Так, например, решение этой задачи с учетом функций штрафа позволяет .получить полезные результаты.

Необходимо сказать, что проведены многочисленные исследования погрешностей квантования при учете смещения шкалы квантования, дрейфа и порога чувствительности устройств сравнения и т. д.

Приведенный же выше материал позволяет в первом приближении оценить погрешность квантования по уровню.

Применение ЭВМ связано с необходимостью оценивать инструментальные погрешности, которые могут возникнуть при выполнении вычислительных процедур из-за ограниченной разрядной сетки машин. Наиболее подробно вопросы оценки этой погрешности рассмотрены в [20.4].

При выборе алгоритмов вычислений, как правило, применяется условие, чтобы абсолютная методическая погрешность вычислений не превышала 2- , где т - разрядность ЭВМ.

Операции округления в ЭВМ осуществляются обычно путем простого усечения неучитываемых разрядов или симметричного округления с учетом значения старшего отбрасываемого разряда. Если / - число неучитываемых при округлении разрядов при равномерном законе распределения вероятностей округления (что справедливо в большинстве случаев при т^8), то дисперсии погрешности простого усечения и симметричного округления

Dy [Дхин] =/)с.о [А2 н] = (1/3) 2-2( +) (1-2-2).

.Уже при сравнительно небольших /

/)ЛА2ин] =Z>c.o [Az ] 2-2-/12.

Математические ожидания инструментальной погрешности дли этих процедур округления равны:

М [Azhh] у=-[2-( +) (1-2-0 ];

M[Azh ] е.о= [2-(-++)].

При /:э>1 данные выражения принимают вид

М [Azhh] ул - [2-( +)]; М [Azhh] с.о^О.

Погрешности усечения имеют отрицательный знак для любых: арифметических операций над числами, представленными в прямом и дополнительном кодах. Поэтому при большом количестве-последовательных арифметических операций погрешности могут накапливаться и превысить допустимый уровень. Особенно нужно производить оценку этой погрешности при разрядной сетке-ЭВМ, близкой к разрядности то АЦП.

В качестве примера проведем расчет числа разрядов ЭВМ исходя из условия обеспечения требуемой точности выполнения операции умножения чисел Zi и Z2, изменяющихся от О до 1. Дисперсия и математическое ожидание инструментальной погрешности данной операции при равенстве числа то разрядов Zi и Z2 и при числе усекаемых разрядов 11 могут быть определены из; приведенных выше формул.

Погрешность результата умножения, обусловленная погрешностями измерительных каналов, может быть рассчитана по соотношению

Д(г,г,)я г,Дг,цп + 2,Д2,дцп.

Если систематические погрешности Zi и Z2 измерительных устройств скомпенсированы, то математическое ожидание данной погрешности равно нулю. Дисперсия этого выражения зависит or дисперсии погрешностей сомножителей. Если принять, что сомножители равны друг другу и количество их разрядов равно то, тс<

D [Д (2,г,)цп] - [2-- {К^ + 12)/12КП (/ +/),

где К=д/о, а а - средняя квадратическая погрешность измерительного такта.

Максимальное значение это выражение принимает при Zimax=t

и Zzmaxl:

)[Д(,2,)дцп1 = 2.2- 7К.

Пусть D[A{z,z) ]s:W[A{z,z)], где 6 - доля дисперсии результата, обусловленная погрешностями АЦП, которую не должна превышать дисперсия инструментальной погрешности результата. Применение этого условия дает 2- /1252-2 - ° X X(K2+12)/12K или К72б(К2-Ь12)2 - ° = 2 . Отсюда

lAm>]0,51og2[iC726(i<2-i-i2)] [. Здесь ] [ означает ближайшее сверху целое число. В частности, при /С=6 (q=6o) и 6=2- Ат 2. При более сложных вычислительных процедурах методика определения количества дополнительных разрядов остается аналогичной. Что касается дисперсии инструментальной погрешности вычислительного устройства, то она в первом приближении может -быть определена умножением £у[Л2 ] на количество проведенных арифметических процедур. В [20.4] показано, что инструментальные погрешности ЭВМ и погрешности аналого-цифрового преобразования оказывают наибольшее влияние на погрешность процедур деления, особенно при большой разности размеров делимого и делителя.

Расчет результирующей погрешности типовых вычислительных процедур приведен в [20.4]. На этой основе там сформулированы некоторые принципы рациональной организации программ вычислений, позволяющие предусмотреть возможности появления значительных ошибок и получить необходимые точности вычислений на ЭВМ.

Заслуживает внимания рекомендация иметь в арифметическо-.погическом устройстве ЭВМ при относительно несложных преобразованиях информации 2-4 дополнительных (по сравнению с разрядностью АЦП) разряда.

20.5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ

Множество возможных результатов измерения конечно и может определяться, например, при количественной оценке входной

величины X в виде N={Xmax-Xmin)/E, ГДС 8-ПОгрСШНОСТЬ ИЗМС-

рения. Поскольку результат измерения представляется в числовом виде, то Ы=Ы, где /-количество разрядов, h - основание кода.

Для характеристики количественной информации, которая может быть получена от данного средства измерения, более удобной часто оказывается логарифмическая мера (Хартли, 1928 г.) I = \oq,N=l\ogh, линейно зависящая от количества разрядов /. При измерении независимых величин {х\, ..., Xk) общее количество информации при применении логарифмической меры /(xi, ... ..Xk)=I{x])-\-.. .-\-I(Xk). При использовании двоичного кода единицей количества информации является /=llog22=l бит.

Если появления тех или иных результатов измерения рассматривать как случайные события, реализующиеся с известными вероятностями, то неопределенность различаемых состояний характеризуется в виде энтропии для дискретных Н(Х)=- Sp(-* )X

log р(л;г)=М[-log р(л;)] и для непрерывных Я(Х) =

=M{-log [\{х)Ах\)= - С f[x) log f(x)dx-log Ах=Н*(Х) -

- 00

-logAx величин. В выражении для энтропии непрерывных вели-

-logiAA; величин. В выражении для энтропии непрерывных величин f{x)-плотность распределения вероятностей X, ff*{X) - дифференциальная энтропия, значение log Ах может изменяться и при Ах-0 оно стремится к оо.

Дифференциальная энтропия равномерно распределенной на

fl I

fcTTlog fj dx =

=log(6-a), a для нормально распределенной центрированной величины Н'(Х) =logV2

При объединении независимых величин (X, U) их энтропии складываются: Н{Х, U)=H{X) + {U).

Для зависимых в вероятностном смысле величин X и U условная энтропия для дискретных величин H{U\X)=-Л Hp{xi, Wj)X

X\ogp{Uj\Xi) и Я(Х|С/)= -2S P{Xi, Uj)\ogpiXi\uj), а

i i

для непрерывных дифференциальная энтропия H*{U\X) =

= -[f{x)f (и\х) log f{u\x)dxdu.

Значение энтропии иссследуемого объекта до и после измерительного эксперимента позволяет определить количество информации, получаемое в результате проведения этого эксперимента:

1{Х, U)=H{X)-H{X\U)H{U)-H{U\X).

Для сравнения существующих и оценки ногрещностей вновь проектируемых средств измерения удобно использовать эквивалентное число делений- число различимых уровней (делений) такого измерительного устройства, в котором производится операция идеального квантования по уровню и отсутствуют остальные погрешности. Это устройство позволяет при равномерном рас пределении измеряемой величины получить такое же количество информации, как и рассматриваемое измерительное устройство.

Эквивалентное число делений Ыэ=Ь1Аэ=а -- где а - основание логарифма, L-динамический диапазон, Дэ-эквивалентный квант. При равномерном распределении измеряемой величины 1{Х, U)=\oga{L/A)-H{X\U), и тогда N=La- J А злесъ Л-деление шкалы устройства). Эквивалентный квант Аэ, по существу, определяет энтропийную погрешность средства измерения.

Для информационной оценки динамических свойств средств измерения употребляются средняя скорость получения информа ции R=I{X, U)/T бит/с и пропускная способность С=.тах R. Про-

пускная способность определяет потенциально возможную максимальную скорость получения или передачи информации данного

средства ИИТ (по возможным плотностям распределения вероятности передаваемой величины).

Для равномерного распределения при заданной верхней частоте сигнала fs и при наличии только квантования скорость получения информации 7?р=2/в log (L/Д). Это выражение является пропускной способностью для всех f{x), ограниченных по максимальному значению.

Для нормально распределенных и аддитивных помехи U и сигнала X с мощностями Рп и Рс при верхней граничной частоте сигнала /в

Я (X) = log V2r.e = log 2iieP; Я (С/) = (1 /2) log 2кеР^;

Н{Х, f7) = (l/2) Iog2jte(Pc-bPn); С={п/Т)[Н(Х)-Н{Х\и)], где n=2UT.

Следовательно, С=/в log (1-f Рс/Рп), а 1так{Х, U)=CT= =fBnog(l-bPc/Pn).

Из последнего выражения следует, что одно и то же количество информации может быть получено при различных соотношениях между /в, Т и Рс/Рп.

Информационные характеристики полезно использовать при проектировании для согласования между собой характеристик функциональных узлов, для сравнительной оценки вариантов и оптимизации выбранного варианта структуры системы.

Основные вопросы, связанные с информационными оценками, освещены в [20.5-20.8].

Глава 21

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИИС

21.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ РАВНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Один из основных вопросов, который приходится решать при обосновании быстродействия проектируемой системы, связан с определением тех моментов времени, в которые нужно выполнять процедуры измерения исследуемой величины, являющейся функцией времени x{t) [21.1].

Остановимся на определении таких моментов времени, т. е. на выборе таких дискретных значений функции xit), по которым возможно описание этой функции с заданной погрешностью.

При дискретизации x(t) нужно в зависимости от цели измерения обоснованно выбрать критерий погрешности описания функции по ее дискретным значениям, определить характер операций дискретизации и вид приближающей функции [21.2]. В качестве критериев погрешности описания x(t) используются точечные оценки погрешности (например, Е/пах I-1У10ДуЛЬ МЭ.К-симальной погрешности) или оценки приближения в средне!! (ча*

ще всего с--среднее квадратическое отклонение). Выделение дискрет может производиться через фиксированные, чаще всего равные интервалы дискретизации. Эти интервалы определяются заранее на основании информации о характере исследуемой величины и цели измерения, а также от выбранной приближающей функции. Обычно в качестве приближающих функций используются многочлены и ряды невысокой размерности. Выбор типа аппроксимирующих функций, так же как и критериев погрешностей приближения, определяется преимущественно целью измерения.

В табл. 21.1 приведены для наиболее употребляемых на практике аппроксимирующих функций выражения, позволяющие определить интервал равномерной дискретизации при заданной погрешности.

Полученные для приближения степенными многочленами Pn{t) оценки интервалов дискретизации при заданной погрешности lemaxl справедливы для точечной интерполяции, т. е. для случая, когда погрещность приближения в узлах аппроксимации отсут ствует и максимальная погрешность находится между ними. При равномерном приближении, когда на отрезке аппроксимации Т имеются п-\-2 точек (/o<i<. </ +!). в которых разность x{t)-x*{t) принимает поочередно значения ±Bmax-sup\x{t) - -x*{t) , интервал дискретизации может быть увеличен.

Рассмотрим простейший пример приближения функции x{t) = =t, заданной в точках /=0, 1, 2 (/о=0; i=l; 2=2) с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа.

При приближении этой функции (рис. 21.1) многочленами нулевой степени на отрезке (0,1) Po{t)=0, на отрезке (1,2) Po{t)=l, многочленами первой степени на отрезке (0,1) Pi{t)=0{t- -1)/(0-1) + 1 (-0)/(1-0)-=/, на отрезке (1,2) Р,(/) = [1(/---2/(1-2)-f[4(/-l)/(2-1)] =3-2, многочленом второй степени P,{t) = [0{t-l) (/ 2)/ (0-1) (0-2)]-Ь[1(-0) (-2)/(1--0) (1-2)]-Ь[4(/-0) (/-1)/(2-0) (2-1)1=2.

При приближении многочленом первой степени погрешность 81 = -/ на отрезке (О, 1) принимает максимальное значение при =0,5 и равна eimax=0,25, а на интервале -(1, 2)-при /=1,5.

В этом примере отрезки заданы и определялась погрешность приближения функции с помощью степенных многочленов. При измерениях чаще приходится решать задачу определения интервала дискретизации функции по заданной погрешности приближения. Решение в этом случае возможно, если известно максимальное значение модуля {п-\-1)-й производной аппроксимируемой функции.

При нулевой степени аппроксимирующего многочлена А/о^ \emax\/Mi. в рассматриваемом примере при Mi=2/=4 (при t=2) и [втал: 1=0,25 Д/о^О,06 И нсобходимо ВЗЯТЬ 34 интервала дискретизации.

Аппроксимация многочленом нулевой степени (ступенчатая аппроксимация) предусматривает восстановление исследуемой